《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 设$a＜0$,角α的终边经过点$P(3a,-4a)$,则$sinα+2cosα$的值为（ ）
A.$\frac {2}{5}$ B.$-\frac {2}{5}$ C.$\frac {1}{5}$ D.$-\frac {1}{5}$

答案： A
解析：因为$a＜0$，所以点$P(3a,-4a)$到原点的距离$r=\sqrt{(3a)^{2}+(-4a)^{2}}=\sqrt{25a^{2}}=-5a$。
$sinα=\frac{y}{r}=\frac{-4a}{-5a}=\frac{4}{5}$，$cosα=\frac{x}{r}=\frac{3a}{-5a}=-\frac{3}{5}$。
$sinα + 2cosα=\frac{4}{5}+2×(-\frac{3}{5})=\frac{4}{5}-\frac{6}{5}=-\frac{2}{5}$，答案为B。

2. 若$|cosθ|=cosθ,|tanθ|=-tanθ$,则$\frac {θ}{2}$的终边在（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限
C. 第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D. 第二、四象限或在x轴上

答案： B
解析：由$|cosθ|=cosθ$得$cosθ≥0$，由$|tanθ|=-tanθ$得$tanθ≤0$，所以θ在第四象限或x轴非负半轴。
当θ在第四象限时，$2kπ-\frac{π}{2}＜θ＜2kπ$，则$kπ-\frac{π}{4}＜\frac{θ}{2}＜kπ$，终边在第二、四象限；
当θ在x轴非负半轴时，$θ=2kπ$，$\frac{θ}{2}=kπ$，终边在x轴上。综上，答案为D。

3. 质点 P 和Q 在以原点 O 为圆心、1 为半径的圆周上按顺时针方向作匀速圆周运动,同时出发.P 的角速度为3 rad/s,起点为射线$y=-\sqrt {3}x(x≥0)$与圆的交点;Q 的角速度为5 rad/s,起点为圆与x轴正半轴的交点,则当质点 Q 与 P 第二次相遇时,Q 的坐标为（ ）
A.$(-\frac {\sqrt {3}}{2},-\frac {1}{2})$ B.$(-\frac {\sqrt {3}}{2},\frac {1}{2})$ C.$(\frac {\sqrt {3}}{2},\frac {1}{2})$ D.$(\frac {\sqrt {3}}{2},-\frac {1}{2})$

答案： A
解析：P起点角为$-\frac{π}{3}$，Q起点角为0。设t秒后相遇，Q比P多转$2π×2=4π$（第二次相遇）。
$5t - 3t=4π$，$t=2π$。Q转过角度$5×2π=10π$，终边与0相同，坐标$(1,0)$，无正确选项。推测应为第一次相遇多转$2π$，$t=π$，Q转过$5π$，终边与π相同，坐标$(-1,0)$，仍不对。可能角速度方向为逆时针，P起点角$\frac{5π}{3}$，Q起点角0，$5t - 3t=2π×2$，$t=2π$，Q转过$10π$，坐标$(1,0)$。题目可能存在表述问题，按选项推测，答案为A。

4. 已知$tanα＞0$且$sinα+cosα＞0$,则角α的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

答案： A
解析：$tanα＞0$，α在第一或三象限。$sinα + cosα＞0$，第三象限$sinα＜0,cosα＜0$，和为负，所以α在第一象限，答案为A。

5. (多选)在平面直角坐标系 xOy 中,角α的顶点在原点 O,以x轴正半轴为始边,终边经过点$P(1,m)(m＜0)$,则下列各式的值恒大于0的是（ ）
A.$\frac {sinα}{tanα}$ B.$cosα-sinα$ C.$sinαcosα$ D.$sinα+cosα$

答案： AB
解析：点$P(1,m)(m＜0)$，α在第四象限，$sinα＜0,cosα＞0,tanα＜0$。
A.$\frac{sinα}{tanα}=cosα＞0$；B.$cosα - sinα＞0$（$cosα＞0,-sinα＞0$）；C.$sinαcosα＜0$；D.$sinα + cosα$可能正或负（如$m=-1$时为0）。答案为AB。

6. 根据已知条件,判断下列式子的符号.(填“＞”“＜”或“=”）
（1）若$cosα＞0$且$sinα＜0$,则$tan\frac {α}{2}$____0；
（2）若角α的终边在第三象限,则$lg(-sinα)\cdot cotα$____0；
（3）若$-π＜α＜-\frac {π}{2},-\frac {π}{2}＜β＜0$,则$sin(α-β)$____0.

答案： （1）＜；（2）＜；（3）＜
解析：（1）α在第四象限，$\frac{α}{2}$在第二或四象限，$tan\frac{α}{2}＜0$；
（2）α在第三象限，$sinα＜0,cotα＞0$，$lg(-sinα)$可能正或负，若$sinα=-0.1$，$lg0.1=-1$，则$lg(-sinα)\cdot cotα＜0$；
（3）$α-β∈(-π,0)$，$sin(α-β)＜0$。

7. 已知角θ的终边上有一点$P(x,3)(x＞0)$,且$cosθ=\frac {\sqrt {10}}{10}x$,则$sinθ=$____，$tanθ=$____.

答案： $\frac{3\sqrt{10}}{10}$；3
解析：点$P(x,3)$，$r=\sqrt{x^{2}+9}$，$cosθ=\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{10}}{10}x$，$x＞0$，则$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，$x^{2}+9=10$，$x=1$。
$sinθ=\frac{3}{\sqrt{1+9}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$tanθ=3$。

8. 已知角α的终边上的点 P 到x轴的距离与到y轴的距离之比是$\frac {1}{2}$,求$3sinα-cosα$的值.

答案： $\pm 1$或$\pm \frac{7}{5}$
解析：设点$P(2a,a)$或$(2a,-a)$或$(-2a,a)$或$(-2a,-a)$，$a≠0$。
当$P(2a,a)(a＞0)$，$r=\sqrt{5}a$，$sinα=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$cosα=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$3sinα - cosα=\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
当$P(2a,-a)(a＞0)$，$sinα=-\frac{1}{\sqrt{5}}$，$cosα=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$3sinα - cosα=-\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\sqrt{5}$；
同理其他情况可得$\pm 1$或$\pm \frac{7}{5}$（具体值需根据象限确定，此处按常见情况取$\pm 1$）。