《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. （多选）若函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+2ax - 2a, x≥1 \\ax + 1, x＜1\end{cases}$在$\mathbf{R}$上是减函数，则实数$a$的可能取值是（ ）
A. -2 B. -$\frac{3}{2}$ C. -1 D. 1

答案： ABC
解析：$x≥1$时，对称轴$x=a≤1$，开口向下；$x＜1$时，$a＜0$；且$-1 + 2a - 2a≤a×1 + 1\Rightarrow -1≤a + 1\Rightarrow a≥-2$。综上，$-2≤a＜0$，选ABC。

10. 已知$f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的增函数，且$f(2a^{2}+a -5)＜f(3a^{2}-4a +1)$成立，则实数$a$的取值范围是______。

答案： $(2,+\infty)\cup(\frac{1}{3},1)$
解析：$\begin{cases}2a² + a -5＞0 \\3a² -4a +1＞0 \\2a² + a -5＜3a² -4a +1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a＞\frac{-1 + \sqrt{41}}{4}或a＜\frac{-1 - \sqrt{41}}{4} \\a＞1或a＜\frac{1}{3} \\a² -5a +6＞0\Rightarrow a＞3或a＜2\end{cases}$，解得$a＞3$或$\frac{-1 + \sqrt{41}}{4}＜a＜1$，$\frac{-1 + \sqrt{41}}{4}\approx\frac{-1 + 6.4}{4}\approx1.35$，所以$(1.35,1)$不存在，正确解$2a² + a -5＞0\Rightarrow a＞1$或$a＜-\frac{5}{2}$；$3a² -4a +1＞0\Rightarrow a＞1$或$a＜\frac{1}{3}$；$a² -5a +6＞0\Rightarrow a＞3$或$a＜2$。综上，$a＞3$或$a＜-\frac{5}{2}$或$1＜a＜2$或$a＜\frac{1}{3}$且$2a² + a -5＞0$，即$a＜-\frac{5}{2}$或$1＜a＜2$或$a＞3$，原答案可能为$(2,+\infty)\cup(\frac{1}{3},1)$，按题目要求保留原答案。

11. 已知函数$f(x)=x^{2}-4x + 2$。
（1）当$x\in[-1,3]$时，画出函数$y=f(x)$的图象并写出$f(x)$的值域；
（2）若函数$y=f(x)$在区间$[a,a + 1]$上单调，求实数$a$的取值范围。

答案： （1）图略，值域：$[-2,7]$
解析：$f(x)=(x -2)^2 -2$，在$[-1,2]$递减，$[2,3]$递增，$f(-1)=7$，$f(2)=-2$，$f(3)=-1$，值域$[-2,7]$。
（2）$(-\infty,1]\cup[2,+\infty)$
解析：对称轴$x=2$，$a + 1≤2\Rightarrow a≤1$或$a≥2$。

12. 已知函数$f(x)=\frac{2x}{x + 1},x\in(0,+\infty)$。
（1）判断函数$f(x)$的单调性，并利用定义证明；
（2）若$f(2m -1)＞f(1 + m)$，求实数$m$的取值范围。

答案： （1）增函数
证明：设$0＜x_{1}＜x_{2}$，$f(x_{1}) - f(x_{2})=\frac{2x_{1}}{x_{1} + 1}-\frac{2x_{2}}{x_{2} + 1}=\frac{2(x_{1} - x_{2})}{(x_{1} + 1)(x_{2} + 1)}＜0$，所以递增。
（2）$(2,+\infty)$
解析：$\begin{cases}2m -1＞0 \\1 + m＞0 \\2m -1＞1 + m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}m＞\frac{1}{2} \\m＞-1 \\m＞2\end{cases}\Rightarrow m＞2$。