《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 若$\log_{x}\frac{1}{27}=-3$，则$x$的值为（ ）
A. 81
B. $\frac{1}{81}$
C. $\frac{1}{3}$
D. 3

答案： D
解析：$x^{-3}=\frac{1}{27}$，$x=3$。

2. 若正数$x,y$满足$x^{4}=16$，$y^{4}=81$，则$x+y$的值是（ ）
A. 5
B. 1
C. 13
D. 17

答案： A
解析：$x=2$，$y=3$，$x+y=5$。

3. 若$x＞0$，$y＞0$，则下列各式恒成立的是（ ）
A. $\lg x+\lg y=\lg(x+y)$
B. $\lg x^{2}=(\lg x)^{2}$
C. $\frac{\lg x}{n}=\lg\frac{x}{n}$
D. $\lg x^{\frac{1}{n}}=\frac{\lg x}{n}$

答案： D
解析：D. $\lg x^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}\lg x$，正确。

4. 下列各式不正确的是（ ）
A. $2^{\frac{2}{5}}×2^{\frac{5}{2}}=2$
B. $(\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}}=3$
C. $\sqrt[6]{2^{2}}=\sqrt[3]{2}$
D. $(-\frac{1}{8})^{\frac{2}{3}}=\frac{1}{4}$

答案： A
解析：A. $2^{\frac{2}{5}+\frac{5}{2}}=2^{\frac{29}{10}}$，错误。

5. （多选）下列化简正确的是（ ）
A. $\sqrt[12]{(-3)^{4}}=\sqrt[3]{-3}$
B. $2^{-1+\log_{2}3}=\frac{3}{2}$
C. $\sqrt{\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{3}$
D. $\frac{\sqrt{-x^{3}}}{x}=\sqrt{-x}$

答案： BCD
解析：A. $\sqrt[12]{(-3)^{4}}=3^{\frac{1}{3}}$，错误；B. $2^{-1}×3=\frac{3}{2}$，正确；C. $\sqrt{3^{\frac{2}{3}}}=3^{\frac{1}{3}}$，正确；D. $x＜0$，$\frac{-x\sqrt{-x}}{x}=-\sqrt{-x}$，错误，故答案为BC。

6. （多选）已知$2^{a}=5^{b}=m$，下列命题正确的是（ ）
A. 若$a=b$，则$m=1$
B. 若$m=10$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$
C. 若$a=b$，则$m=10$
D. 若$m=10$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$

答案： AB
解析：$a=\log_{2}m$，$b=\log_{5}m$，A. $a=b$，$\log_{2}m=\log_{5}m$，$m=1$，正确；B. $m=10$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\lg2+\lg5=1$，正确。

7. 已知$\log_{2}[\log_{3}(\log_{4}x)]=\log_{3}[\log_{4}(\log_{2}y)]=0$，则$x-y=$______。

答案： 60
解析：$\log_{3}(\log_{4}x)=1$，$\log_{4}x=3$，$x=64$；$\log_{4}(\log_{2}y)=1$，$\log_{2}y=4$，$y=16$，$x-y=48$，原答案有误，应为48。

8. 把满足$\log_{2}3\cdot\log_{3}4\cdot\cdots\cdot\log_{n+1}(n+2)(n\in\mathbf{N}^{*})$为整数的$n$叫作“贺数”，则在区间$(1,50)$内所有“贺数”的和是______。

答案： 105
解析：原式$=\log_{2}(n+2)$，为整数，$n+2=2^{k}$，$n=2^{k}-2$，$n\in(1,50)$，$k=3,4,5,6$，$n=6,14,30,62$（62舍去），和为6+14+30=50，原答案有误，应为50。

9. （1）计算：$2^{\log_{2}\frac{1}{4}}+(\frac{16}{9})^{-\frac{1}{2}}+\lg20-\lg2-\log_{2}3\cdot\log_{3}2$；
（2）已知$a+a^{-1}=3$，求$a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}$的值。

答案： （1）$\frac{1}{3}$；（2）$2\sqrt{5}$
解析：（1）$2^{\log_{2}\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$，$(\frac{16}{9})^{-\frac{1}{2}}=\frac{3}{4}$，$\lg20-\lg2=1$，$\log_{2}3\cdot\log_{3}2=1$，原式$=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+1-1=1$，原答案有误，应为1。
（2）$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，$a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})(a-1+a^{-1})=\sqrt{5}(3-1)=2\sqrt{5}$。