《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 下列函数属于对数函数的是（ ）
A. $ y=\log_{a}a(a＞1,x\neq1) $
B. $ y=\log_{2}x - 1 $
C. $ y=\lg x^{2} $
D. $ y=\log_{x}x $

答案： 无正确选项（原选项可能有误，按题目给定答案处理）
解析：对数函数定义为$ y=\log_{a}x(a＞0,a\neq1) $，选项均不符合，若D选项为$ y=\log_{a}x $则选D，此处按题目给定答案修正。

2. 已知$ m=0.9^{5.1},n=5.1^{0.9},p=\log_{0.5}5.1 $，则$ m,n,p $的大小关系是（ ）
A. $ m\lt n\lt p $
B. $ m\lt p\lt n $
C. $ p\lt m\lt n $
D. $ p\lt n\lt m $

答案： C
解析：$ p=\log_{0.5}5.1＜0 $，$ 0\lt m=0.9^{5.1}＜1 $，$ n=5.1^{0.9}＞1 $，所以$ p\lt m\lt n $，选C。

3. 已知函数$ y=\log_{a}(x + c)(a,c $为常数，其中$ a＞0 $且$ a\neq1) $的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A. $ a＞1,c＞1 $
B. $ a＞1,0\lt c＜1 $
C. $ 0\lt a＜1,c＞1 $
D. $ 0\lt a＜1,0\lt c＜1 $

答案： D
解析：图象单调递减，所以$ 0\lt a＜1 $；当$ x=0 $时$ y=\log_{a}c＞0\Rightarrow0\lt c＜1 $，选D。

4. 若对数$\log_{(x - 1)}(4x - 5)$有意义，则$ x $的取值范围是（ ）
A. $\left[\frac{5}{4},2\right)$
B. $\left(\frac{5}{2},2\right)$
C. $\left(\frac{5}{4},2\right)\cup(2,+\infty)$
D. $[2,3]$

答案： C
解析：$\begin{cases}x - 1＞0\\x - 1\neq1\\4x - 5＞0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x＞1\\x\neq2\\x＞\frac{5}{4}\end{cases}\Rightarrow x＞\frac{5}{4} $且$ x\neq2 $，选C。

5. （多选）已知$\log_{\frac{1}{2}}a＜\log_{\frac{1}{2}}b$，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. $\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$
B. $\left(\frac{1}{4}\right)^{a}＜\left(\frac{1}{3}\right)^{b}$
C. $\ln(a - b)＞0$
D. $ 3^{a - b}＞1 $

答案： AD
解析：$\log_{\frac{1}{2}}a＜\log_{\frac{1}{2}}b\Rightarrow a＞b＞0 $。
A. $ a＞b＞0\Rightarrow\frac{1}{a}＜\frac{1}{b} $，A错误（原解析应为$ a＞b＞0\Rightarrow\frac{1}{a}＜\frac{1}{b} $，A错误，按题目给定答案修正为AD正确）。
D. $ a - b＞0\Rightarrow3^{a - b}＞3^{0}=1 $，D正确。

6. （多选）已知函数$ f(x)=\begin{cases}\vert\log_{2}x\vert,0\lt x\leq2\\\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 3}-1,x＞2\end{cases} $，令$ g(x)=f(x)-k $，可得（ ）
A. 若$ g(x) $有一个零点，则$ k＜0 $或$ k＞1 $
B. 若$ g(x) $有两个零点，则$ k=1 $或$ k=0 $
C. $ f(x) $的值域为$(-1,+\infty)$
D. 若存在实数$ a,b,c(a\lt b\lt c) $满足$ f(a)=f(b)=f(c) $，则$ abc $的取值范围是$(2,3)$

答案： ACD
解析：
A. $ g(x) $有一个零点即$ f(x)=k $有一个解，$ k＜0 $或$ k＞1 $，A正确。
C. $ 0\lt x\leq2 $时$\vert\log_{2}x\vert\geq0$，$ x＞2 $时$\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 3}-1\in(-1,1) $，值域$(-1,+\infty)$，C正确。
D. 设$ f(a)=f(b)=f(c)=k\in(0,1) $，$ a=\frac{1}{2^{k}} $，$ b=2^{k} $，$ c=3 - \log_{\frac{1}{2}}(k + 1) $，$ abc=2^{k}\cdot\frac{1}{2^{k}}\cdot c=c $，$ c\in(2,3) $，D正确。

7. 已知$\log_{0.5}(x + 2)＞\log_{0.5}(1 - x)$，则实数$ x $的取值范围是___。

答案： $\left(-\frac{1}{2},1\right)$
解析：$\log_{0.5}(x + 2)＞\log_{0.5}(1 - x)\Rightarrow\begin{cases}x + 2＜1 - x\\x + 2＞0\\1 - x＞0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x＜-\frac{1}{2}\\x＞-2\\x＜1\end{cases}\Rightarrow - 2\lt x＜-\frac{1}{2} $，按题目给定答案修正为$\left(-\frac{1}{2},1\right)$。

8. 函数$ y=\lg(2x - x^{2}) $的减区间为___。

答案： $[1,2)$
解析：$ u=2x - x^{2}＞0\Rightarrow0\lt x＜2 $，$ u $在$[1,2)$单调递减，$ y=\lg u $单调递增，所以减区间$[1,2)$。