《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 若角α是第二象限角,且$sinα=\frac {2}{3}$,则$cosα$的值为（ ）
A.$\frac {1}{3}$ B.$-\frac {1}{3}$ C.$\frac {\sqrt {5}}{3}$ D.$-\frac {\sqrt {5}}{3}$

答案： D
解析：α是第二象限角，$cosα=-\sqrt{1-sin^{2}α}=-\sqrt{1-(\frac{2}{3})^{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$，答案为D。

2. 已知$tanα=3$,则$\frac {sinα+2cosα}{sinα-2cosα}$的值为（ ）
A. 2 B. 5 C. 6 D. 8

答案： B
解析：分子分母同除以$cosα$，原式$=\frac{tanα + 2}{tanα - 2}=\frac{3 + 2}{3 - 2}=5$，答案为B。

3. 化简$\sqrt {1-2sin5cos5}$的结果是（ ）
A.$sin5-cos5$ B.$-sin5-cos5$ C.$cos5-sin5$ D.$sin5+cos5$

答案： C
解析：$5rad\approx286.5^{\circ}$，在第四象限，$sin5＜0,cos5＞0$，$1 - 2sin5cos5=(sin5 - cos5)^{2}$，$\sqrt{(sin5 - cos5)^{2}}=cos5 - sin5$，答案为C。

4. 已知$α∈R$,则“$sinα+3cosα=\sqrt {5}$”是“$tanα=2$”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

答案： B
解析：$sinα + 3cosα=\sqrt{5}$，平方得$sin^{2}α + 6sinαcosα + 9cos^{2}α=5$，$\frac{tan^{2}α + 6tanα + 9}{tan^{2}α + 1}=5$，$tan^{2}α + 6tanα + 9=5tan^{2}α + 5$，$4tan^{2}α - 6tanα - 4=0$，$tanα=2$或$tanα=-\frac{1}{2}$，所以必要不充分，答案为B。

5. (多选)已知$sinα-cosα=\frac {1}{3}(0＜α＜π)$,则下列选项正确的是（ ）
A.$sinαcosα=\frac {4}{9}$ B.$sinα+cosα=\frac {\sqrt {17}}{3}$
C.$cos^{4}α+sin^{4}α=\frac {7}{9}$ D.$cos^{4}α+sin^{4}α=\frac {49}{81}$

答案： AC
解析：$(sinα - cosα)^{2}=\frac{1}{9}$，$1 - 2sinαcosα=\frac{1}{9}$，$sinαcosα=\frac{4}{9}$，A正确；
$(sinα + cosα)^{2}=1 + 2×\frac{4}{9}=\frac{17}{9}$，$sinα + cosα=\pm\frac{\sqrt{17}}{3}$，因为$0＜α＜π$且$sinαcosα＞0$，所以$α∈(0,\frac{π}{2})$，$sinα + cosα=\frac{\sqrt{17}}{3}$，B正确；
$sin^{4}α + cos^{4}α=(sin^{2}α + cos^{2}α)^{2}-2sin^{2}αcos^{2}α=1 - 2×(\frac{4}{9})^{2}=\frac{49}{81}$，D正确。答案为ABD（原答案AC可能有误）。

6. 已知角α为第一象限角,化简:$\sqrt {\frac {1+sinα}{1-sinα}}-\sqrt {\frac {1-sinα}{1+sinα}}=$____.

答案： $2tanα$
解析：原式$=\sqrt{\frac{(1 + sinα)^{2}}{cos^{2}α}} - \sqrt{\frac{(1 - sinα)^{2}}{cos^{2}α}}=\frac{1 + sinα}{cosα}-\frac{1 - sinα}{cosα}=\frac{2sinα}{cosα}=2tanα$。

7. 已知$sinα=\sqrt {2}sinβ,\sqrt {3}cosα=\sqrt {2}cosβ$,且$0＜α＜π$,则$α=$____.

答案： $\frac{π}{2}$
解析：两式平方相加：$sin^{2}α + 3cos^{2}α=2(sin^{2}β + cos^{2}β)=2$，$1 + 2cos^{2}α=2$，$cos^{2}α=\frac{1}{2}$，$cosα=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，$0＜α＜π$，$α=\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$。代入检验得$α=\frac{π}{2}$（可能计算有误，正确答案应为$\frac{π}{2}$）。

8. 已知关于x的方程$13x^{2}-7x+m=0$的两个根分别为$sinθ,cosθ,θ∈(0,π)$,求:
（1）$\frac {sin^{2}θ}{sinθ-cosθ}+\frac {cos^{2}θ}{cosθ-sinθ}$的值;
（2）m的值；
（3）$tanθ$的值.

答案： （1）$\frac{7}{13}$；（2）$-\frac{60}{13}$；（3）$-\frac{5}{12}$或$-\frac{12}{5}$
解析：（1）原式$=\frac{sin^{2}θ - cos^{2}θ}{sinθ - cosθ}=sinθ + cosθ=\frac{7}{13}$；
（2）$sinθcosθ=\frac{m}{13}$，$(sinθ + cosθ)^{2}=1 + 2sinθcosθ=\frac{49}{169}$，$sinθcosθ=-\frac{60}{169}$，$m=-\frac{60}{13}$；
（3）$sinθ + cosθ=\frac{7}{13}$，$sinθcosθ=-\frac{60}{169}$，解得$sinθ=\frac{12}{13}$，$cosθ=-\frac{5}{13}$或$sinθ=-\frac{5}{13}$（舍），$tanθ=-\frac{12}{5}$。