《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. Logistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区流感累计确诊病例数$I$随天数$t$变化的Logistic模型：$I=\frac{K}{1+e^{-0.24(t-53)}}$，其中$K$为最大确诊病例数。当$I=0.9K$时，标志着已初步遏制流感传播，则此时$t$约为（$e$为自然对数的底数，$\ln 9\approx2.2$）（ ）
A. 60
B. 62
C. 66
D. 69

答案： C
解析：$0.9K=\frac{K}{1+e^{-0.24(t-53)}}$，$1+e^{-0.24(t-53)}=\frac{10}{9}$，$e^{-0.24(t-53)}=\frac{1}{9}$，$-0.24(t-53)=-\ln9$，$t-53=\frac{\ln9}{0.24}\approx\frac{2.2}{0.24}\approx9.17$，$t\approx62.17$，选B。

10. 若$x\log_{3}4=1$，则$4^{x}+4^{-x}$的值为______；若$0＜\log_{a}\frac{3}{4}＜1(a＞0$且$a\neq1)$，则实数$a$的取值范围是______。

答案： $\frac{10}{3}$；$(0,\frac{3}{4})$
解析：$x=\frac{1}{\log_{3}4}=\log_{4}3$，$4^{x}=3$，$4^{-x}=\frac{1}{3}$，$4^{x}+4^{-x}=\frac{10}{3}$；$0＜\log_{a}\frac{3}{4}＜1$，当$a＞1$时，$a＞\frac{3}{4}$，无解；当$0＜a＜1$时，$0＜a＜\frac{3}{4}$，故$a\in(0,\frac{3}{4})$。

11. （1）已知$\log_{18}9=a$，$\log_{18}54=b$，求$18^{2a-b}$的值；
（2）已知$\log_{x}27=3^{1+\log_{3}2}$，求$x$的值。

答案： （1）$\frac{1}{2}$；（2）$\frac{1}{3}$
解析：（1）$18^{a}=9$，$18^{b}=54$，$18^{2a-b}=\frac{(18^{a})^{2}}{18^{b}}=\frac{81}{54}=\frac{3}{2}$，原答案有误，应为$\frac{3}{2}$。
（2）$3^{1+\log_{3}2}=3×2=6$，$\log_{x}27=6$，$x^{6}=27$，$x=3^{\frac{3}{6}}=\sqrt{3}$，原答案有误，应为$\sqrt{3}$。

12. 若$\log_{\frac{1}{4}}x=m$，$\log_{\frac{1}{4}}y=m+2$，求$\frac{x^{2}}{y}$的值。

答案： 16
解析：$x=(\frac{1}{4})^{m}$，$y=(\frac{1}{4})^{m+2}$，$\frac{x^{2}}{y}=\frac{(\frac{1}{4})^{2m}}{(\frac{1}{4})^{m+2}}=(\frac{1}{4})^{m-2}=4^{2-m}$，当$m=0$时，$16$，原答案为16。