《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 已知$\alpha,\beta$是函数$y = x^2 + 2x - 7$的两个零点，则$\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = $______.

答案： 36
解析：由韦达定理，$\alpha + \beta = -2$，$\alpha\beta = -7$.
$\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (-2)^2 - 4×(-7) = 4 + 28 = 32$（之前答案有误，正确应为$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 4 + 28 = 32$，但题目是$\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha - \beta)^2 = 32$，所以答案为32）.

10. 已知函数$y = -3x^2 + 2x - m + 1$.
（1）若$x = 0$为该函数的一个零点，求实数$m$的值；
（2）当$m$为何值时，该函数有两个零点、一个零点、无零点？

答案： （1）$m = 1$；（2）当$m ＜ \frac{4}{3}$时，两个零点；当$m = \frac{4}{3}$时，一个零点；当$m ＞ \frac{4}{3}$时，无零点
解析：（1）因为$x = 0$是零点，所以$0 + 0 - m + 1 = 0$，解得$m = 1$.
（2）判别式$\Delta = 2^2 - 4×(-3)(-m + 1) = 4 - 12(m - 1) = 4 - 12m + 12 = 16 - 12m$.
当$\Delta ＞ 0$，即$16 - 12m ＞ 0$，$m ＜ \frac{4}{3}$时，两个零点；
当$\Delta = 0$，即$m = \frac{4}{3}$时，一个零点；
当$\Delta ＜ 0$，即$m ＞ \frac{4}{3}$时，无零点.

11. 已知函数$y = x^2 - 4x + 2k$.
（1）若该函数$y = x^2 - 4x + 2k$有零点，求实数$k$的取值范围；
（2）如果$k$是满足（1）的最大整数，且函数$y = x^2 - 4x + 2k$的零点是函数$y = x^2 - 2mx + 3m - 1$的一个零点，求实数$m$的值及函数$y = x^2 - 2mx + 3m - 1$的另一个零点.

答案： （1）$k \leq 2$；（2）$m = 1$，另一个零点为1；或$m = 3$，另一个零点为3
解析：（1）函数有零点，判别式$\Delta = 16 - 8k \geq 0$，解得$k \leq 2$.
（2）满足（1）的最大整数$k = 2$，函数为$y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$，零点为$x = 2$.
将$x = 2$代入$y = x^2 - 2mx + 3m - 1$得$4 - 4m + 3m - 1 = 0$，$3 - m = 0$，$m = 3$，此时函数为$y = x^2 - 6x + 8$，另一个零点为$x = 4$（之前答案有误，正确应为：函数$y = x^2 - 4x + 4$零点为$x = 2$（二重根），代入$y = x^2 - 2mx + 3m - 1$得$4 - 4m + 3m - 1 = 0$，$m = 3$，函数为$x^2 - 6x + 8 = 0$，零点为2和4，所以另一个零点为4；若$k = 2$，函数零点为2，当$m = 1$时，函数$y = x^2 - 2x + 2$，无零点，所以正确答案为$m = 3$，另一个零点为4）.