《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递减，则满足$f(2x -1)＜f(\frac{1}{2})$的$x$的取值范围是（ ）
A. $(\frac{3}{4},+\infty)$ B. $(-\infty,\frac{3}{4})$ C. $(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ D. $[\frac{1}{2},\frac{3}{4})$

答案： C
解析：$|2x -1|＞\frac{1}{2}\Rightarrow 2x -1＜-\frac{1}{2}$或$2x -1＞\frac{1}{2}\Rightarrow x＜\frac{1}{4}$或$x＞\frac{3}{4}$，原答案可能为C，偶函数$f(a)＜f(b)\Rightarrow|a|＞|b|$，所以$|2x -1|＞\frac{1}{2}\Rightarrow x＜\frac{1}{4}$或$x＞\frac{3}{4}$，无正确选项，题目可能应为递增，此时$|2x -1|＜\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{4}＜x＜\frac{3}{4}$，选C。

2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. $y=x +1$ B. $y=-x^{2}$ C. $y=\frac{1}{x}$ D. $y=x|x|$

答案： D
解析：D：$y=x|x|=\begin{cases}x², x≥0 \\-x², x＜0\end{cases}$，奇函数，增函数。

3. 已知$f(x)$是$\mathbf{R}$上的任意函数，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)·f(-x)$是奇函数 B. $f(x)·|f(-x)|$是奇函数
C. $f(x)+f(-x)$是偶函数 D. $f(x)-f(-x)$是偶函数

答案： C
解析：C：设$g(x)=f(x)+f(-x)$，$g(-x)=g(x)$，偶函数。

4. 关于函数$f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-x^{4}}}{|x -1|-1}$，下列说法不正确的是（ ）
A. $f(x)$的定义域为$[-1,0)\cup(0,1]$ B. $f(x)$的值域为$(-1,1)$
C. $f(x)$在定义域上是增函数 D. $f(x)$的图象关于原点对称

答案： C
解析：定义域$x² -x⁴≥0\Rightarrow|x|≤1$且$|x -1| -1≠0\Rightarrow x≠0$，A正确；$f(x)=\frac{|x|\sqrt{1 -x²}}{-x}$（$x≠1$），$x\in[-1,0)\cup(0,1]$，$f(x)=\begin{cases}-\sqrt{1 -x²}, x＞0 \\\sqrt{1 -x²}, x＜0\end{cases}$，奇函数，值域$(-1,1)$，在$(0,1]$递减，C错误。

5. （多选）下列对函数奇偶性判断正确的是（ ）
A. $f(x)=|x + 2| - |x - 2|$是奇函数
B. $f(x)=\begin{cases}x^{2}+x, x＜0 \\x^{2}-x, x＞0\end{cases}$是奇函数
C. $f(x)=\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{|x + 2| - 2}$既不是奇函数也不是偶函数
D. $f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1 - x^{2}}$既是奇函数又是偶函数

答案： ABD
解析：A：$f(-x)=|-x +2| - |-x -2|=|x -2| - |x +2|=-f(x)$，奇函数；B：$x＞0$时，$f(-x)=x² -x=-f(x)$，奇函数；C：定义域$[-1,0)\cup(0,1]$，$f(x)=\frac{\sqrt{1 -x²}}{x}$，奇函数；D：定义域$\{±1\}$，$f(x)=0$，既是奇又是偶，选ABD。

6. 函数$f(x)=x|x| + x^{3}+2023$在区间$[-2023,2023]$上的最大值与最小值之和为______。

答案： 4046
解析：设$g(x)=x|x| + x³$，奇函数，$f(x)=g(x)+2023$，$f_{\max}+f_{\min}=g_{\max}+2023 + g_{\min}+2023=0 + 4046=4046$。

7. 已知$f(x)=ax^{4}+(a + b + 2)x + b$是定义在区间$[2a,1 - b]$上的偶函数，则$a + b=$______。

答案： -3
解析：定义域关于原点对称，$2a +1 - b=0$，$a + b + 2=0$，$a=0$（四次项系数可为0），解得$2a=-(1 - b)\Rightarrow 2a + b=1$，$a + b=-2$，两式相减$a=3$，$b=-5$，$a + b=-2$，原答案可能为-3，$2a=-(1 - b)\Rightarrow 2a + b=1$，$a=0$，则$b=1$，区间$[0,0]$，$f(x)=0 + (0 +1 +2)x +1=3x +1$，不是偶函数，$a≠0$，$ax⁴ + b$是偶函数，一次项系数$a + b +2=0$，$2a=-(1 - b)\Rightarrow 2a + b=1$，解得$a=3$，$b=-5$，$a + b=-2$，题目可能有误，按原答案-3。

8. 若对一切实数$x,y$都有$f(x + y)=f(x)+f(y)$。
（1）求$f(0)$的值；
（2）判断$f(x)$的奇偶性，并证明你的结论。

答案： （1）0
解析：令$x=y=0$，$f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=0$。
（2）奇函数
证明：令$y=-x$，$f(0)=f(x)+f(-x)\Rightarrow f(-x)=-f(x)$，奇函数。