《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 若$a＞0$，$b＞0$，$\lg a+\lg b=\lg(a+2b)$，则$2a+b$的最小值为（ ）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6

答案： A
解析：$ab=a+2b$，$\frac{1}{b}+\frac{2}{a}=1$，$2a+b=(2a+b)(\frac{1}{b}+\frac{2}{a})=5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq5+4=9$。

10. 物理学中，声强是表示声波强度的物理量，可用公式$I=\frac{1}{2}\rho vA^{2}\omega^{2}$表示，其中$v$是声速，$\omega$和$A$分别是声波的频率和振幅，$\rho$是媒质的密度。由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入声强级的概念，规定声强级$L=\lg\frac{I}{I_{0}}$。通常规定$I_{0}=10^{-20}\ W/m^{2}$（相当于1000 Hz时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出的$L$就是声强$I$的量度，式中声强级的单位称为贝尔。实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用1贝尔的$\frac{1}{10}$作单位，这就是1 dB（分贝）。当被测量的声强$I$为声强$I_{0}$的1000倍时，声强级$L$是______dB。

答案： 30
解析：$L=\lg\frac{I}{I_{0}}=\lg1000=3$贝尔=30 dB。

11. （1）在①$3^{\log_{3}4}$，②$\log_{2}9\cdot\log_{3}2$，③$\log_{3}18-\frac{1}{2}\log_{3}4$这三个条件中任选一个，补充到问题中并计算：$(\lg2)^{2}+\lg2\cdot\lg5+\lg5+$______；
（2）已知$\lg a+\lg b=2\lg(a-2b)$，求$\log_{2}\frac{a}{b}$的值。

答案： （1）选①：5；选②：3；选③：2；（2）2
解析：（1）$(\lg2)^{2}+\lg2\cdot\lg5+\lg5=\lg2(\lg2+\lg5)+\lg5=\lg2+\lg5=1$，选①：$1+4=5$；选②：$1+2=3$；选③：$1+1=2$。
（2）$\lg(ab)=\lg(a-2b)^{2}$，$ab=(a-2b)^{2}$，$a^{2}-5ab+4b^{2}=0$，$(\frac{a}{b})^{2}-5(\frac{a}{b})+4=0$，$\frac{a}{b}=4$，$\log_{2}4=2$。

12. （1）已知$3^{a}=4^{b}=48$，求$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的值；
（2）若$a,b$是方程$2(\lg x)^{2}-\lg x^{4}+1=0$的两个实根，求$\frac{1}{\lg(ab)}\cdot(\log_{a}b+\log_{b}a)$的值。

答案： （1）1；（2）12
解析：（1）$a=\log_{3}48$，$b=\log_{4}48$，$\frac{1}{a}=\log_{48}3$，$\frac{2}{b}=2\log_{48}4=\log_{48}16$，$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\log_{48}(3×16)=\log_{48}48=1$。
（2）令$t=\lg x$，方程为$2t^{2}-4t+1=0$，$t_{1}+t_{2}=2$，$t_{1}t_{2}=\frac{1}{2}$，$\lg(ab)=\lg a+\lg b=t_{1}+t_{2}=2$，$\log_{a}b+\log_{b}a=\frac{t_{2}}{t_{1}}+\frac{t_{1}}{t_{2}}=\frac{t_{1}^{2}+t_{2}^{2}}{t_{1}t_{2}}=\frac{(t_{1}+t_{2})^{2}-2t_{1}t_{2}}{t_{1}t_{2}}=\frac{4-1}{\frac{1}{2}}=6$，原式$=\frac{1}{2}×6=3$，原答案有误，应为3。