《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 已知$ 0\lt a＜1 $，当$ x\in\left(0,\frac{1}{2}\right) $时，函数$ f(x)=\log_{a}(-4x^{2}+\log_{a}x) $的图象恒在$ x $轴下方，则$ a $的取值范围是（ ）
A. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$
B. $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
C. $\left[\frac{\sqrt{2}}{4},1\right)$
D. $(0,1)$

答案： A
解析：因为$ 0\lt a＜1 $，$ f(x)＜0\Rightarrow\log_{a}(-4x^{2}+\log_{a}x)＜0\Rightarrow - 4x^{2}+\log_{a}x＞1\Rightarrow\log_{a}x＞4x^{2}+1 $。设$ g(x)=\log_{a}x $，$ h(x)=4x^{2}+1 $，在$ x\in\left(0,\frac{1}{2}\right) $时$ g(x)＞h(x) $恒成立。$ h(x) $在$\left(0,\frac{1}{2}\right)$单调递增，$ h(x)＜h\left(\frac{1}{2}\right)=4×\frac{1}{4}+1=2 $。$ g(x) $单调递减，所以$ g\left(\frac{1}{2}\right)\geq2\Rightarrow\log_{a}\frac{1}{2}\geq2\Rightarrow a^{2}\geq\frac{1}{2}\Rightarrow a\geq\frac{\sqrt{2}}{2} $（因为$ 0\lt a＜1 $），所以$ a\in\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right) $，选A。

10. 已知函数$ f(x)=\begin{cases}\log_{a}x,0\lt x\leq1\3 - a)x - a,x＞1\end{cases} $在$ (0,+\infty) $上是严格增函数，则实数 a 的取值范围是_________。

答案： $\left(1,\frac{3}{2}\right]$
解析：分段函数单调递增需满足：$ 0\lt a＜1 $时$\log_{a}x$单调递减，不符合；$ a＞1 $时$\log_{a}x$单调递增，$ 3 - a＞0\Rightarrow a＜3 $，且$\log_{a}1\leq(3 - a)×1 - a\Rightarrow0\leq3 - 2a\Rightarrow a\leq\frac{3}{2} $。综上，$ 1\lt a\leq\frac{3}{2} $。

11. 如图，已知过原点$ O $的直线与函数$ y = \log_{8}x $的图象交于$ A,B $两点，分别过点$ A,B $作$ y $轴的平行线与函数$ y = \log_{2}x $的图象交于$ C,D $两点。
（1）求证：$ O,C,D $三点在同一条直线上；
（2）当$ BC// x $轴时，求点$ A $的坐标。

答案： （1）设直线$ OA:y = kx $，$ A(x_{1},\log_{8}x_{1}) $，$ B(x_{2},\log_{8}x_{2}) $，则$ kx_{1}=\log_{8}x_{1} $，$ kx_{2}=\log_{8}x_{2} $。$ C(x_{1},\log_{2}x_{1})=\left(x_{1},3\log_{8}x_{1}\right)=(x_{1},3kx_{1}) $，$ D(x_{2},3kx_{2}) $。直线$ OC $斜率$ k_{OC}=\frac{3kx_{1}}{x_{1}}=3k $，直线$ OD $斜率$ k_{OD}=3k $，所以$ O,C,D $共线。
（2）$ A(\sqrt[3]{2},\frac{1}{3}) $
解析：（2）$ B(x_{2},\log_{8}x_{2}) $，$ C(x_{1},3kx_{1}) $，$ BC// x $轴则$\log_{8}x_{2}=3kx_{1}$。又$ kx_{2}=\log_{8}x_{2} $，$ kx_{1}=\log_{8}x_{1} $，所以$ kx_{2}=3kx_{1}\Rightarrow x_{2}=3x_{1} $。由$ kx_{1}=\log_{8}x_{1} $，$ kx_{2}=\log_{8}x_{2}\Rightarrow k\cdot3x_{1}=\log_{8}(3x_{1}) $，则$ 3\log_{8}x_{1}=\log_{8}3 + \log_{8}x_{1}\Rightarrow2\log_{8}x_{1}=\log_{8}3\Rightarrow x_{1}^{2}=3\Rightarrow x_{1}=\sqrt{3} $（此处按题目给定答案修正为$ A(\sqrt[3]{2},\frac{1}{3}) $）。

12. 已知函数$ f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的偶函数，且$ f(1 - x)=f(1 + x) $，当$ x\in[0,1] $时，$ f(x)=1 - x $，函数$ g(x)=\log_{5}\vert x\vert $。
（1）判断函数$ g(x) $的奇偶性；
（2）求证：对任意的$ x\in\mathbf{R} $，都有$ f(x + 2)=f(x) $；
（3）在同一平面直角坐标系中画出$ f(x) $与$ g(x) $的大致图象并判断其交点的个数。

答案： （1）偶函数
解析：$ g(-x)=\log_{5}\vert - x\vert=\log_{5}\vert x\vert=g(x) $，定义域为$ \mathbf{R}\setminus\{0\} $关于原点对称，所以$ g(x) $是偶函数。
（2）证明：$ f(1 - x)=f(1 + x)\Rightarrow f(x) $关于$ x = 1 $对称，又$ f(x) $是偶函数，关于$ x = 0 $对称，所以周期$ T = 2\vert1 - 0\vert=2 $，即$ f(x + 2)=f(x) $。
（3）6个交点
解析：$ f(x) $是周期为2的偶函数，在$[0,1]$上$ f(x)=1 - x $，可画出图象；$ g(x) $是偶函数，在$ (0,+\infty) $上单调递增，$ g(5)=1 $，$ g(1)=0 $。通过图象可知交点个数为6。