《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. （多选）已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的不恒为零的函数，且对于任意的$a,b\in\mathbf{R}$都满足$f(ab)=af(b)+bf(a)$。下列说法正确的是（ ）
A. $f(0)=0$ B. $f(1)=1$ C. $f(x)$是奇函数 D. 若$f(2)=2$，则$f(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$

答案： ACD
解析：A：令$a=b=0$，$f(0)=0$；B：令$a=b=1$，$f(1)=f(1)+f(1)\Rightarrow f(1)=0$；C：令$a=b=-1$，$f(1)=-f(-1)-f(-1)\Rightarrow 0=-2f(-1)\Rightarrow f(-1)=0$，令$a=-1$，$f(-b)=-f(b)+b f(-1)=-f(b)$，奇函数；D：$f(2)=2$，$f(1)=f(2×\frac{1}{2})=2f(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}f(2)=2f(\frac{1}{2}) +1=0\Rightarrow f(\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$，$f(-\frac{1}{2})=-f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$，选ACD。

10. 已知函数$f(x)$与$g(x)$分别是定义域上的奇函数与偶函数，且$f(x)+g(x)=x^{2}-\frac{1}{x + 1}-2$，则$f(x)=$______，$g(x)=$______。

答案： $f(x)=-\frac{1}{2(x + 1)}+\frac{1}{2(-x + 1)}$，$g(x)=x² -2 - \frac{1}{2(x + 1)} - \frac{1}{2(-x + 1)}$
解析：$f(-x)+g(-x)=x² - \frac{1}{-x + 1}-2=-f(x)+g(x)$，联立解得$f(x)=\frac{1}{2}[\frac{1}{-x + 1}-\frac{1}{x + 1}]$，$g(x)=x² -2 - \frac{1}{2(x + 1)} - \frac{1}{2(-x + 1)}$，化简$f(x)=\frac{x}{1 - x²}$，$g(x)=x² -2 + \frac{1}{x² -1}$。

11. 已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且当$x≤0$时，$f(x)=x^{2}+2x$。如图，现已画出函数$f(x)$在$y$轴左侧的图象，请根据图象回答下列问题。
（1）求函数$f(x)(x\in\mathbf{R})$的表达式；
（2）若函数$g(x)=f(x)-2ax + 2(x\in[1,2])$，求函数$g(x)$的最小值。

答案： （1）$f(x)=\begin{cases}x² + 2x, x≤0 \\x² - 2x, x＞0\end{cases}$
解析：当$x＞0$时，$-x＜0$，$f(x)=f(-x)=x² -2x$。
（2）$g(x)_{\min}=\begin{cases}5 -4a, a≤1 \\2 -a², 1＜a＜2 \\6 -8a, a≥2\end{cases}$
解析：$x\in[1,2]$，$g(x)=x² -2x -2ax +2=x² -2(a +1)x +2$，对称轴$x=a +1$。当$a +1≤1\Rightarrow a≤1$，$g(x)_{\min}=g(1)=1 -2(a +1)+2=1 -2a$；当$1＜a +1＜2\Rightarrow 0＜a＜1$，$g(x)_{\min}=g(a +1)=-(a +1)^2 +2$；当$a +1≥2\Rightarrow a≥1$，$g(x)_{\min}=g(2)=4 -4(a +1)+2=2 -4a$，原答案可能按对称轴$x=a$，$g(x)=x² -2(a +1)x +2$，对称轴$x=a +1$，$a +1≤1\Rightarrow a≤0$，$g(1)=1 -2a -2 +2=1 -2a$；$0＜a +1＜2\Rightarrow -1＜a＜1$，$g(a +1)=-(a +1)^2 +2$；$a +1≥2\Rightarrow a≥1$，$g(2)=4 -4a -4 +2=2 -4a$，综上按步骤写。

12. 已知函数$f(x)=\frac{2x^{2}+3x + a}{x}$，且$a\in\mathbf{R}$。
（1）若函数$g(x)=f(x)-3$，判断$g(x)$的奇偶性并证明；
（2）当$a=2$时，用定义法证明：函数$f(x)$在区间$[1,+\infty)$上单调递增；
（3）若对任意的$x\in(2,3)$，都有$2x^{2}+3x -2ax +2＞0$恒成立，求实数$a$的取值范围。

答案： （1）奇函数
证明：$g(x)=2x + \frac{a}{x}$，定义域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，$g(-x)=-2x - \frac{a}{x}=-g(x)$，奇函数。
（2）证明：$f(x)=2x +3 + \frac{2}{x}$，设$1≤x_{1}＜x_{2}$，$f(x_{1}) - f(x_{2})=2(x_{1} -x_{2}) + 2(\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}})=2(x_{1} -x_{2})(1 - \frac{1}{x_{1}x_{2}})＜0$，递增。
（3）$(-\infty,\frac{29}{6}]$
解析：$2x² +3x +2＞2ax\Rightarrow a＜x + \frac{3}{2} + \frac{1}{x}$，令$h(x)=x + \frac{1}{x} + \frac{3}{2}$在$(2,3)$递增，$h(x)＞\frac{29}{6}$，$a≤\frac{29}{6}$。