《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. （多选）若函数$f(x)=x^{2}-4x - 3$的定义域为$[0,m]$，值域为$[-7,-3]$，则$m$的值可能是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

答案： ABC
解析：$f(x)=(x - 2)^{2}-7$，对称轴$x=2$，$f(0)=-3$，$f(2)=-7$，$f(4)=-3$，$m\in[2,4]$，选ABC。

10. 若函数$f(\frac{8}{3}x+\frac{5}{3})$的定义域为$[-1,\frac{1}{2}]$，且函数$f(-x^{2}+4x - 1)$的定义域为$[0,m]$，则实数$m$的取值范围是______。

答案： [0,2 + √3]
解析：$\frac{8}{3}x+\frac{5}{3}\in[-1,3]$，$f(x)$定义域$[-1,3]$，$-x^{2}+4x - 1\in[-1,3]$，$0\leq x^{2}-4x + 1\leq2$，$x\in[0,2 + \sqrt{3}]$，$m\in[0,2 + \sqrt{3}]$。

11. 已知函数$f(x)$对任意正实数$a$，$b$都有$f(ab)=f(a)+f(b)$成立。
（1）求$f(1)$的值；
（2）当$x\in(0,+\infty)$时，求证：$f(\frac{1}{x})=-f(x)$；
（3）若$f(2)=p$，$f(3)=q$（$p$，$q$均为常数），求$f(18)$的值。

答案： （1）$f(1)=0$
解析：令$a = b = 1$，$f(1)=f(1)+f(1)$，$f(1)=0$。
（2）证明：令$a = x$，$b=\frac{1}{x}$，$f(1)=f(x)+f(\frac{1}{x})$，$f(\frac{1}{x})=-f(x)$。
（3）$p + 2q$
解析：$f(18)=f(2×9)=f(2)+f(9)=f(2)+2f(3)=p + 2q$。

12. 对于函数$f(x)$，若$f(x)=x$，则称$x$为$f(x)$的“不动点”；若$f(f(x))=x$，则称$x$为$f(x)$的“稳定点”。函数$f(x)$的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为$A$和$B$，即$A = \{x|f(x)=x\}$，$B = \{x|f(f(x))=x\}$。
（1）求证：$A\subseteq B$；
（2）设$f(x)=x^{2}+ax + b$，若$A = \{-1,2\}$，求集合$B$。

答案： （1）证明：任取$x\in A$，$f(x)=x$，则$f(f(x))=f(x)=x$，$x\in B$，$A\subseteq B$。
（2）$\{-1,2,\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\}$
解析：$A = \{-1,2\}$，则$f(x)-x=(x + 1)(x - 2)=x^{2}-x - 2$，$f(x)=x^{2}-x - 2$，$f(f(x))=x$，$(x^{2}-x - 2)^{2}-(x^{2}-x - 2)-2=x$，$(x + 1)(x - 2)(x^{2}-x - 1)=0$，$B = \{-1,2,\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\}$。（原答案$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$有误，修正为$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$）