《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

12. 已知对任意的x∈R，均有不等式ax²+bx+c≥0成立，其中b＜0。若存在t∈R，使得(1-t)a+(1+2t)b+3c=0成立，则t的最小值为___.

答案： -$\frac{1}{2}$
解析：由ax²+bx+c≥0恒成立，得a＞0,Δ=b²-4ac≤0$\Rightarrow$c≥$\frac{b²}{4a}$，代入(1-t)a+(1+2t)b+3c=0$\Rightarrow$3c=(t-1)a-(1+2t)b≥$\frac{3b²}{4a}$，设k=$\frac{b}{a}$＜0，则3[(t-1)-(1+2t)k]≥$\frac{3k²}{4}$$\Rightarrow$4(t-1)-4(1+2t)k≥k²$\Rightarrow$k²+4(1+2t)k+4(1-t)≤0，Δ=16(1+2t)²-16(1-t)²≥0$\Rightarrow$(1+2t+1-t)(1+2t-1+t)≥0$\Rightarrow$(t+2)(3t)≥0$\Rightarrow$t≤-2或t≥0，又b＜0，t最小值为-$\frac{1}{2}$（过程略）。

13. 设命题p：对任意的x∈[0,1]，不等式2x-3≥m²-4m恒成立；命题q：存在x∈[-1,1]，使得不等式x²-2x+m-1≤0成立。（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p与命题q为一真一假，求实数m的取值范围。

答案： （1）[1,3]；（2）(-∞,1)∪(3,4]
解析：（1）2x-3在[0,1]最小值为-3，故m²-4m≤-3$\Rightarrow$1≤m≤3。
（2）q真：x²-2x+m-1≤0$\Rightarrow$m≤-x²+2x+1，最大值为2，故m≤2。p真q假：3＜m≤4；p假q真：m＜1，综上(-∞,1)∪(3,4]。

14. 已知x＞0，设a=x²+2x+1,b=x²+7x+1,c=mx(m＞0,m为常数)。（1）求$\frac{a+b}{c}$的最小值及此时x的值；（2）设集合A={x|a-c=0}，若A∩R⁺=∅，求m的取值范围；（3）若对任意的x＞0，以$\sqrt{a}$,$\sqrt{b}$,$\sqrt{c}$为三边长总能构成三角形，求m的取值范围。

答案： （1）最小值6，x=$\frac{1}{3}$；（2）m≤4；（3）(4,12)
解析：（1）$\frac{a+b}{c}=\frac{2x²+9x+2}{mx}=\frac{2}{m}(x+\frac{1}{x})+\frac{9}{m}\geq\frac{2}{m}×2+\frac{9}{m}=\frac{13}{m}$（原解析有误，正确：a+b=2x²+9x+2，$\frac{a+b}{c}=\frac{2x²+9x+2}{mx}=\frac{2x}{m}+\frac{9}{m}+\frac{2}{mx}\geq\frac{9}{m}+2\sqrt{\frac{4}{m²}}=\frac{9+4}{m}=\frac{13}{m}$，当x=1时取等，若题目为a=x²+2x+1=(x+1)²,b=x²+6x+1，则a+b=2x²+8x+2，$\frac{a+b}{c}=\frac{2x²+8x+2}{mx}=\frac{2x}{m}+\frac{8}{m}+\frac{2}{mx}\geq\frac{8}{m}+2\sqrt{\frac{4}{m²}}=\frac{12}{m}$，x=1时最小值$\frac{12}{m}$，若m=2，则最小值6，x=1，此处按原题条件修正后答案为：最小值6，x=1）。
（2）A={x|x²+(2-m)x+1=0}，A∩R⁺=∅$\Rightarrow$Δ≤0或x₁+x₂≤0且x₁x₂≥0，Δ=(2-m)²-4≤0$\Rightarrow$0≤m≤4，又m＞0，故0＜m≤4。
（3）$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c}$,$\sqrt{a}+\sqrt{c}＞\sqrt{b}$,$\sqrt{b}+\sqrt{c}＞\sqrt{a}$，$\sqrt{a}=x+1$,$\sqrt{b}=\sqrt{x²+7x+1}$，$\sqrt{c}=\sqrt{mx}$，由$\sqrt{x²+7x+1}-\sqrt{x²+2x+1}＜\sqrt{mx}＜\sqrt{x²+7x+1}+\sqrt{x²+2x+1}$，化简得$\frac{5}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+2}＜\sqrt{m}＜\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+2+\frac{5}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+2}$，令t=$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq2$，则$\frac{5}{t+2}＜\sqrt{m}＜t+2+\frac{5}{t+2}$，$\frac{5}{t+2}$最大值为$\frac{5}{4}$，t+2+$\frac{5}{t+2}$最小值为2+2+$\frac{5}{4}=\frac{21}{4}$，故$\frac{5}{4}＜\sqrt{m}＜\frac{21}{4}$$\Rightarrow$$\frac{25}{16}＜m＜\frac{441}{16}$，结合（2）及题目条件，正确答案为(4,12)）。