《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 下列从集合$M$到集合$N$的对应关系中，$y$是$x$的函数的是（ ）
A. $M = \{x|x\in\mathbf{Z}\}$，$N = \{y|y\in\mathbf{Z}\}$，对应关系$f:x\rightarrow y$，其中$y=\frac{x}{2}$
B. $M = \{x|x＞0,x\in\mathbf{R}\}$，$N = \{y|y\in\mathbf{R}\}$，对应$f:x\rightarrow y$，其中$y=\pm2$
C. $M = \{x|x\in\mathbf{R}\}$，$N = \{y|y\in\mathbf{R}\}$，对应$f:x\rightarrow y$，其中$y = x^{2}$
D. $M = \{x|x\in\mathbf{R}\}$，$N = \{y|y\in\mathbf{R}\}$，对应$f:x\rightarrow y$，其中$y=\frac{2}{x}$

答案： C
解析：A. $x$为奇数时$y\notin\mathbf{Z}$；B. 一个$x$对应两个$y$；C. 符合函数定义；D. $x=0$无对应。

2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. $y = x - 1$和$y=\frac{x^{2}-1}{x + 1}$ B. $y = x^{0}$和$y = 1$
C. $f(x)=x^{2}$和$g(x)=(x + 1)^{2}$ D. $f(x)=\frac{(\sqrt{x})^{2}}{x}$和$g(x)=\frac{x}{(\sqrt{x})^{2}}$

答案： D
解析：A. 定义域不同；B. $y = x^{0}$定义域$x\neq0$；C. 对应法则不同；D. 均为$1(x＞0)$。

3. 已知函数$f(x + 2)$的定义域为$(-3,4)$，则函数$g(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{3x - 1}}$的定义域为（ ）
A. $(\frac{1}{3},4)$ B. $(\frac{1}{3},2)$ C. $(\frac{1}{3},6)$ D. $(\frac{1}{3},1)$

答案： A
解析：$f(x + 2)$定义域$(-3,4)$，$x + 2\in(-1,6)$，$f(x)$定义域$(-1,6)$，$g(x)$需$\begin{cases}-1＜x＜6 \\ 3x - 1＞0\end{cases}$，$\frac{1}{3}＜x＜6$。（原答案$A$有误，修正为$C$）

4. 已知函数$f(x)=ax^{3}+bx + \frac{c}{x}+3$，若$f(t)=2$，则$f(-t)$的值为（ ）
A. 4 B. -2 C. 2 D. 0

答案： A
解析：$f(t)+f(-t)=6$，$f(-t)=6 - f(t)=4$。

5. （多选）下列函数的值域不是$[1,+\infty)$的是（ ）
A. $y=\sqrt{x - 1}$ B. $y = |x| + 1$
C. $y=\sqrt{x^{2}+1}$ D. $y=\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$

答案： AD
解析：A. $[0,+\infty)$；B. $[1,+\infty)$；C. $[1,+\infty)$；D. $(0,+\infty)$。

6. 若函数$f(x + 3)$的定义域为$(-5,-2)$，则$F(x)=f(x + 1)+f(x - 1)$的定义域为______。

答案： (-2,0)
解析：$f(x + 3)$定义域$(-5,-2)$，$x + 3\in(-2,1)$，$f(x)$定义域$(-2,1)$，$F(x)$需$\begin{cases}-2＜x + 1＜1 \\ -2＜x - 1＜1\end{cases}$，$-3＜x＜0$且$-1＜x＜2$，$-1＜x＜0$。（原答案$(-2,0)$有误，修正为$(-1,0)$）

7. 已知函数$y = f(x)$的值域为$[1,2]$，则$g(x)=1 - 2f(x + 1)$的值域为______。

答案： [-3,-1]
解析：$f(x + 1)\in[1,2]$，$-2f(x + 1)\in[-4,-2]$，$1 - 2f(x + 1)\in[-3,-1]$。

8. 已知函数$f(x)=\frac{8}{x - 1}+\sqrt{x + 2}$。
（1）求函数$f(x)$的定义域；
（2）求$f(-1)$，$f(7)$；
（3）已知$f(2a + 1)=\frac{4}{a}+1$，求$a$的值。

答案： （1）$[-2,1)\cup(1,+\infty)$
解析：$x - 1\neq0$且$x + 2\geq0$，定义域$[-2,1)\cup(1,+\infty)$。
（2）$f(-1)=-4 + 1=-3$，$f(7)=1 + 3=4$
解析：$f(-1)=\frac{8}{-2}+\sqrt{1}=-4 + 1=-3$，$f(7)=\frac{8}{6}+\sqrt{9}=\frac{4}{3}+3=\frac{13}{3}$。（原答案$f(7)=4$有误，修正为$\frac{13}{3}$）
（3）$a = 3$
解析：$f(2a + 1)=\frac{8}{2a}+\sqrt{2a + 3}=\frac{4}{a}+\sqrt{2a + 3}=\frac{4}{a}+1$，$\sqrt{2a + 3}=1$，$a=-1$（定义域验证，$2a + 1=-1$在定义域内）。（原答案$a = 3$有误，修正为$a=-1$）