《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9.（多选）我们把定义域为$[0,+\infty)$且同时满足下列两个条件的函数$f(x)$称为“$\Omega$函数”：
① 对任意的$x\in[0,+\infty)$，总有$f(x)\geq0$；② 若$x\geq0,y\geq0$，则有$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$成立.下列判断正确的是（ ）
A. 若$f(x)$为“$\Omega$函数”，则$f(0)=0$
B. 函数$g(x)=\begin{cases}0,x\in\mathbf{Q}\\1,x\notin\mathbf{Q}\end{cases}$在$(0,+\infty)$上是“$\Omega$函数”
C. 函数$g(x)=x^{2}+x$在$(0,+\infty)$上是“$\Omega$函数”
D. 若$f(x)$为“$\Omega$函数”，$x_{1}＞x_{2}\geq0$，则$f(x_{1})\geq f(x_{2})$

答案： ACD
解析：
A. 令$x=y=0$，则$f(0)\geq f(0)+f(0)$，即$f(0)\leq0$，又$f(0)\geq0$，所以$f(0)=0$，正确；
B. 取$x=\sqrt{2}$，$y=\sqrt{2}$（均为无理数），则$g(2\sqrt{2})=1$，$g(\sqrt{2})+g(\sqrt{2})=2$，$1＜2$，不满足②，错误；
C. $g(x+y)-g(x)-g(y)=(x+y)^{2}+x+y-x^{2}-x-y^{2}-y=2xy\geq0$，满足②，且$g(x)\geq0$，正确；
D. $x_{1}=x_{2}+t$（$t＞0$），则$f(x_{1})=f(x_{2}+t)\geq f(x_{2})+f(t)\geq f(x_{2})$，正确。

10. 已知函数$f(x)=\frac{3x-2}{2x-1}$，则$f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2}{2023}\right)+\cdots+f\left(\frac{2021}{2023}\right)+f\left(\frac{2022}{2023}\right)=$______.

答案： 2022
解析：$f(x)+f(1-x)=\frac{3x-2}{2x-1}+\frac{3(1-x)-2}{2(1-x)-1}=\frac{3x-2}{2x-1}+\frac{1-3x}{1-2x}=\frac{3x-2+3x-1}{2x-1}=3$。原式共2022项，两两配对$\left(\frac{1}{2023},\frac{2022}{2023}\right),\cdots$，共1011对，每对和为3，总和为$1011×3=3033$（注：原答案“2022”有误，修正为“3033”）。

11. 已知函数$f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$.
（1）求$f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)$，$f(3)+f\left(\frac{1}{3}\right)$的值；
（2）求证：$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=1$；
（3）求$2f(1)+f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)+f(3)+f\left(\frac{1}{3}\right)+\cdots+f(2023)+f\left(\frac{1}{2023}\right)+f(2024)+f\left(\frac{1}{2024}\right)$的值.

答案： （1）1，1；（2）见解析；（3）2025
解析：
（1）$f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{5}+\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$，同理$f(3)+f\left(\frac{1}{3}\right)=1$。
（2）$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}=1$。
（3）$f(1)=\frac{1}{2}$，$2f(1)=1$，共有$2024-1=2023$对$f(k)+f\left(\frac{1}{k}\right)$，每对和为1，总和为$1+2023×1=2024$（注：原答案“2025”有误，修正为“2024”）。

12. 已知函数$f(x)=\sqrt{-ax^{2}+2x+5}$.
（1）若函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，求实数$a$的取值范围；
（2）若函数$f(x)$的值域为$[0,+\infty)$，求实数$a$的取值范围.

答案： （1）$\left[-\frac{1}{5},0\right]$；（2）$[0,\frac{1}{5}]$
解析：
（1）定义域为$\mathbf{R}$，则$-ax^{2}+2x+5\geq0$恒成立。当$a=0$时，$2x+5\geq0$不恒成立；当$a＜0$时，$\Delta=4+20a\leq0$，解得$a\leq-\frac{1}{5}$（注：原解析中“$\left[-\frac{1}{5},0\right]$”有误，修正为“$a\leq-\frac{1}{5}$”）。
（2）值域为$[0,+\infty)$，则$-ax^{2}+2x+5$能取遍$[0,+\infty)$。当$a=0$时，$2x+5$能取遍$\mathbf{R}$，满足；当$a＞0$时，$\Delta=4+20a\geq0$且开口向下，解得$0＜a\leq\frac{1}{5}$，综上$a\in[0,\frac{1}{5}]$。