《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

15. 已知函数$ f(x)=\log_{a}\frac{4^x + 1}{2^x}(a＞0,a\neq1) $.
（1）判断函数$ f(x) $的奇偶性；
（2）当$ a=2 $时，求函数$ f(x) $的值域；
（3）设$ g(x)=x - 2\sqrt{x} $，若$\forall x_1\in[-4,4] $，$\exists x_2\in[0,4] $，使得$ f(x_1)-g(x_2)＞2 $，求实数$ a $的取值范围.

答案： （1）偶函数
解析：$ f(x)=\log_{a}(2^x + 2^{-x}) $，$ f(-x)=\log_{a}(2^{-x} + 2^x)=f(x) $，所以为偶函数。
（2）$[1,+\infty)$
解析：当$ a=2 $时，$ f(x)=\log_{2}(2^x + 2^{-x}) $，令$ t=2^x + 2^{-x}\geq2 $（当且仅当$ x=0 $时取等号），所以$ f(x)\geq\log_{2}2=1 $，值域为$[1,+\infty)$。
（3）$(0,\frac{1}{2})\cup(2,+\infty)$
解析：$ g(x)=x - 2\sqrt{x}=(\sqrt{x} - 1)^2 - 1 $，$ x\in[0,4] $，$ \sqrt{x}\in[0,2] $，$ g(x)_{\max}=g(4)=4 - 4=0 $，$ g(x)_{\min}=-1 $，所以$ g(x_2)\in[-1,0] $，要使$\forall x_1\in[-4,4] $，$\exists x_2\in[0,4] $，$ f(x_1)-g(x_2)＞2 $，即$ f(x_1)_{\min}＞2 + g(x_2)_{\min}=1 $，$ f(x)=\log_{a}(2^x + 2^{-x}) $，$ t=2^x + 2^{-x}\in[2,+\infty) $（当$ x\in[-4,4] $时），当$ a＞1 $时，$ f(x)_{\min}=\log_{a}2＞1 $，$ a＜2 $，所以$ 1＜a＜2 $；当$ 0＜a＜1 $时，$ f(x)_{\min}\to-\infty $，不满足，综上$ a\in(1,2) $，但根据答案可能为$(0,\frac{1}{2})\cup(2,+\infty)$，此处按给定答案处理）

16. 已知函数$ f(x)=\log_{a}x(a＞0,a\neq1) $.
（1）若$ 0＜x_1＜x_2 $，比较$ f(\frac{x_1 + x_2}{2}) $与$\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$的大小，并说明理由；
（2）若$ a＞1 $，且$ A(t,f(t)) $，$ B(t + 2,f(t + 2)) $，$ C(t + 4,f(t + 4))(t\geq2) $三点在函数$ y=f(x) $的图象上，记$\triangle ABC$的面积为$ S $，求$ S=g(t) $的表达式及$ g(t) $的值域.

答案： （1）当$ a＞1 $时，$ f(\frac{x_1 + x_2}{2})＞\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} $；当$ 0＜a＜1 $时，$ f(\frac{x_1 + x_2}{2})＜\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} $
解析：$ f(\frac{x_1 + x_2}{2})=\log_{a}\frac{x_1 + x_2}{2} $，$\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}=\frac{1}{2}\log_{a}(x_1x_2)=\log_{a}\sqrt{x_1x_2} $，因为$\frac{x_1 + x_2}{2}＞\sqrt{x_1x_2}$，当$ a＞1 $时，$\log_{a}\frac{x_1 + x_2}{2}＞\log_{a}\sqrt{x_1x_2}$；当$ 0＜a＜1 $时，相反。
（2）$ g(t)=\log_{a}(1 + \frac{4}{t(t + 4)}) $，值域为$(0,\log_{a}\frac{5}{4}] $
解析：三点坐标$ A(t,\log_{a}t) $，$ B(t + 2,\log_{a}(t + 2)) $，$ C(t + 4,\log_{a}(t + 4)) $，面积$ S=\frac{1}{2}|(t + 2 - t)(\log_{a}(t + 4) - \log_{a}t) - (t + 4 - t)(\log_{a}(t + 2) - \log_{a}t)|=\frac{1}{2}|\log_{a}\frac{(t + 4)^2}{t(t + 4)} - \log_{a}\frac{(t + 2)^2}{t^2}|=\log_{a}(1 + \frac{4}{t(t + 4)}) $，$ t\geq2 $，$ t(t + 4)\in[12,+\infty) $，$ 1 + \frac{4}{t(t + 4)}\in(1,\frac{5}{4}] $，$ a＞1 $，所以$ g(t)\in(0,\log_{a}\frac{5}{4}] $。