《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 下列命题为存在量词命题的是（ ）
A. 自然数的平方大于或等于零
B. 凸多边形的外角和等于$360°$
C. 有些自然数是偶数
D. 正方形是菱形

答案： C
解析：存在量词命题是含有存在量词“有些”“至少有一个”等的命题，选项C中“有些自然数是偶数”含有存在量词“有些”，是存在量词命题，其他选项是全称量词命题，选C。

2. 已知命题“$\forall x＞0$，总有$x + 1＞1$”，则该命题的否定是（ ）
A. $\exists x\leqslant0$，使得$x + 1\leqslant1$
B. $\exists x＞0$，使得$x + 1\leqslant1$
C. $\forall x＞0$，总有$x + 1\leqslant1$
D. $\forall x\leqslant0$，总有$x + 1\leqslant1$

答案： B
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，将“$\forall$”改为“$\exists$”，并否定结论，所以原命题的否定是“$\exists x＞0$，使得$x + 1\leqslant1$”，选B。

3. 关于命题“$\forall x\in\mathbf{R},x^2 + 2\neq1$”，下列说法正确的是（ ）
A. 该命题的否定是$\exists x\in\mathbf{R},x^2 + 2\neq1$
B. 该命题的否定是$\forall x\in\mathbf{R},x^2 + 2=1$
C. 该命题是真命题
D. 该命题的否定是真命题

答案： CD
解析：原命题“$\forall x\in\mathbf{R},x^2 + 2\neq1$”，即$x^2\neq-1$，因为对任意实数$x$，$x^2\geqslant0$，所以$x^2\neq-1$恒成立，原命题是真命题，C正确。其否定是“$\exists x\in\mathbf{R},x^2 + 2=1$”，即$\exists x\in\mathbf{R},x^2=-1$，该否定是假命题，D错误？（此处原解析有误，否定应为假命题，所以正确选项为C）。

4. 下列命题为真命题的是（ ）
A. $\exists x\in\mathbf{R},x^2 + 2x + 2\leqslant0$
B. $\forall x\in\mathbf{N},x^4\geqslant1$
C. $\exists x\in\mathbf{N},\sqrt{x}＞x$
D. $\exists x\in\mathbf{N}^*$，使$x$为29的约数

答案： D
解析：A选项，$x^2 + 2x + 2=(x + 1)^2 + 1\geqslant1＞0$，所以A是假命题；B选项，当$x=0$时，$x^4=0＜1$，所以B是假命题；C选项，对任意$x\in\mathbf{N}$，$\sqrt{x}\leqslant x$，所以C是假命题；D选项，29是质数，其正约数为1和29，所以$\exists x=1\in\mathbf{N}^*$，使$x$为29的约数，D是真命题，选D。

5. （多选）下列四个命题的否定为真命题的是（ ）
A. 至少有一个实数$x$，使$x^3 + 1=0$
B. 对所有实数$a$，都有$|a|＞0$
C. 一元一次方程不总有实数根
D. 三个连续正整数的乘积是6的倍数

答案： B
解析：A选项，原命题为真（$x=-1$时成立），其否定为假；B选项，原命题为假（$a=0$时$|a|=0$），其否定为真；C选项，原命题为真（如方程$0x=1$无实根），其否定为假；D选项，原命题为真，其否定为假，所以选B。

6. 用符号“$\forall$”表示命题“任意实数的平方大于或等于0”为______，这个命题是______（填“真”或“假”）命题.

答案： $\forall x\in\mathbf{R},x^2\geqslant0$；真
解析：“任意实数的平方大于或等于0”用全称量词符号表示为$\forall x\in\mathbf{R},x^2\geqslant0$，该命题是真命题。

7. 已知命题：$\forall x\in\mathbf{R},x^2 - 4x + 2a＞0$。若该命题是真命题，则实数$a$的取值范围是______.

答案： $a＞2$
解析：因为对任意$x\in\mathbf{R}$，$x^2 - 4x + 2a＞0$恒成立，所以判别式$\Delta=16 - 8a＜0$，解得$a＞2$。

8. 写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）$\forall x\in\mathbf{R},x^2 - x + \frac{1}{4}\geqslant0$；
（2）$\exists x＞0,x^2 + x - 1=0$；
（3）每一个平行四边形都是中心对称图形；
（4）存在一个三角形，它的内角和小于$180°$.

答案： （1）否定：$\exists x\in\mathbf{R},x^2 - x + \frac{1}{4}＜0$，假命题。因为$x^2 - x + \frac{1}{4}=(x - \frac{1}{2})^2\geqslant0$恒成立。
（2）否定：$\forall x＞0,x^2 + x - 1\neq0$，假命题。解方程$x^2 + x - 1=0$，得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，其中$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}＞0$，所以原命题为真，否定为假。
（3）否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形，假命题。所有平行四边形都是中心对称图形。
（4）否定：每一个三角形的内角和都不小于$180°$，真命题。三角形内角和为$180°$，所以原命题为假，否定为真。