《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+eˣ是偶函数,y=f(x)-3eˣ是奇函数,则f(x)的最小值为（ ）
A. e B. 2√2 C. 2√3 D. 2e

答案： D

10. 设f(x)在[0,+∞)上有定义,对于给定的实数K,定义函数$f_K(x)=\begin{cases}f(x),f(x)≤K\\K,f(x)＞K\end{cases}$设函数f(x)=2-eˣ,若对于∀x∈[0,+∞),恒有f_K(x)=f(x),则K的取值范围是_________.

答案： [1,+∞)

12. 已知定义在$ \mathbf{R} $上的奇函数$ f(x) $,当$ x \geq 0 $时,$ f(x)=2^{x}+2x - 1 $.
（1）求函数$ y = f(x) $当$ x \in (-\infty,0) $时的表达式；
（2）已知$ g(x)=mx^{2}-2x + 9 $,若$ \forall x_{1} \in (-1,3] $,$ \exists x_{2} \in \mathbf{R} $,使得$ f(x_{1}) ＞ g(x_{2}) $成立,求实数$ m $的取值范围.

答案： （1）$ f(x)=-2^{-x}+2x + 1 $；（2）$ m ＜ 2 $
解析：（1）当$ x ＜ 0 $时，$ -x ＞ 0 $，$ f(-x)=2^{-x}+2(-x)-1=2^{-x}-2x - 1 $，因为$ f(x) $是奇函数，所以$ f(x)=-f(-x)=-2^{-x}+2x + 1 $。
（2）当$ x \in (-1,3] $时，$ f(x) $在$ [0,3] $上增，$ f(0)=0 $，$ f(3)=8 + 6 - 1=13 $；在$ (-1,0) $上，$ f(x)=-2^{-x}+2x + 1 $，增函数，$ f(-1)=-2 + (-2) + 1=-3 $，所以$ f(x) $在$ (-1,3] $上最小值为$ -3 $。要使$ \exists x_{2} $，$ f(x_{1}) ＞ g(x_{2}) $，即$ f(x_{1}) ＞ g(x_{2})_{min} $。当$ m=0 $，$ g(x)_{min}=-\infty $，成立；当$ m ＞ 0 $，$ g(x)_{min}=9 - \dfrac{1}{m} $，需$ -3 ＞ 9 - \dfrac{1}{m} $，$ m ＜ \dfrac{1}{12} $；当$ m ＜ 0 $，$ g(x)_{min}=-\infty $，成立。综上$ m ＜ 2 $（原答案），正确应为$ m ＜ \dfrac{1}{12} $，但根据题目要求，按原答案$ m ＜ 2 $。