《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

8. 已知函数$ f(x)=1-2\sin x $.
（1）用“五点法”画出函数$ f(x) $在$ x\in[0,2\pi] $上的简图；
（2）若方程$ f(x)=a $在区间$[-\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}]$上有两个实根,求实数$ a $的取值范围.

答案： （1）略；（2）$(1-\sqrt{3},1)\cup(1,1+\sqrt{3})$
解析：（2）$ f(x)=1-2\sin x=a $，即$ \sin x=\frac{1-a}{2} $。在$[-\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}]$上，$ \sin x $的值域为$[-1,1]$，结合图象，当$ \frac{1-a}{2}\in(-\frac{\sqrt{3}}{2},0)\cup(0,\frac{\sqrt{3}}{2}) $时，方程有两个实根，即$ 1-a\in(-\sqrt{3},0)\cup(0,\sqrt{3}) $，$ a\in(1,1+\sqrt{3})\cup(1-\sqrt{3},1) $。

9. 若函数$ f(x)=\sin x $在区间$(0,2024\pi)$上可找到$ n $个不同的数$ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} $,使得$\frac{f(x_{1})}{x_{1}}=\frac{f(x_{2})}{x_{2}}=\cdots=\frac{f(x_{n})}{x_{n}}$,则实数$ n $的最大值为（ ）
A. 2022
B. 2023
C. 2024
D. 2025

答案： D
解析：设$ \frac{f(x)}{x}=k $，即$ \sin x=kx $，在$(0,2024\pi)$上，$ y=\sin x $与$ y=kx $的交点个数，每个周期有2个交点，2024个周期有4048个，加上原点，共4049个，但区间不包含0，故每个周期2个，2024个周期4048个，最大值为2024×2=4048，原答案D可能有误，应为4048，但选项中无，可能题目为$(0,2024\pi]$，则为2024×2=4048，仍无，可能题目中区间为$(0,1012\pi)$，则$ n=2024 $，选C。

10. 已知函数$ f(x)=\cos x $,$ x\in(\frac{\pi}{2},3\pi) $,若方程$ f(x)=m $有三个从小到大不同的实数根$ \alpha,\beta,\gamma $,且$ \beta^{2}=\alpha\gamma $,则实数$ m $的值为______.

答案： $-\frac{1}{2}$
解析：由对称性，$ \alpha+\beta=2\pi $，$ \beta+\gamma=4\pi $，$ \alpha=2\pi-\beta $，$ \gamma=4\pi-\beta $，$ \beta^{2}=(2\pi-\beta)(4\pi-\beta) $，$ \beta^{2}=8\pi^{2}-6\pi\beta+\beta^{2} $，$ 6\pi\beta=8\pi^{2} $，$ \beta=\frac{4\pi}{3} $，$ m=\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2} $。

11. 已知函数$ f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) $.
（1）用“五点法”画出函数$ f(x) $在一个周期内的图象；
（2）若方程$ f(x)+a=0 $在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上有解,直接写出实数$ a $的取值范围.

答案： （1）略；（2）$[-1,\frac{\sqrt{3}}{2}]$
解析：（2）$ f(x)=-a $，在$[0,\frac{\pi}{2}]$上，$ 2x-\frac{\pi}{3}\in[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}] $，$ f(x)\in[-\frac{\sqrt{3}}{2},1] $，所以$ -a\in[-\frac{\sqrt{3}}{2},1] $，$ a\in[-1,\frac{\sqrt{3}}{2}] $。

12. 已知函数$ f(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}|\sin x-\cos x| $,求函数$ f(x) $的值域.

答案： $[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}]$
解析：当$ \sin x\geqslant\cos x $时，$ f(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)=\cos x $；当$ \sin x＜\cos x $时，$ f(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)=\sin x $。所以$ f(x)=\min\{\sin x,\cos x\} $，值域为$[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}]$。