《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

11. 已知函数$ f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+3 $。
（1）求$ f(x) $的增区间及对称中心的坐标。
（2）把$ y=f(x) $图象上的各点______得到$ y=g(x) $的图象，当$ x\in\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right] $时，方程$ g(x)=m $有解，求实数m的取值范围。
从下列条件①②中选择一个，补充到（2）的横线上并求解。
① 先向左平移$ \frac{\pi}{6} $个单位长度，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的$ \frac{1}{2} $；
② 先纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移$ \frac{\pi}{6} $个单位长度。

答案： （1）增区间$ [k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}](k\in\mathbf{Z}) $，对称中心$ \left(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},3\right)(k\in\mathbf{Z}) $；（2）选①：$ [1,5] $；选②：$ [2,5] $
解析：（1）增区间：$ -\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi $，$ k\pi-\frac{\pi}{3}\leq x\leq k\pi+\frac{\pi}{6} $；对称中心：$ 2x+\frac{\pi}{6}=k\pi $，$ x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12} $，坐标$ \left(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},3\right) $。
（2）选①：$ g(x)=2\sin\left(4x+\frac{\pi}{2}\right)+3=2\cos4x+3 $，在$ x\in\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right] $，$ 4x\in\left[-\frac{2\pi}{3},\pi\right] $，$ \cos4x\in[-1,1] $，$ m\in[1,5] $；选②：$ g(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{12}\right)+3 $，$ x\in\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right] $，$ x+\frac{\pi}{12}\in\left[-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{3}\right] $，$ \sin\in\left[-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right] $，$ m\in[2,3+\sqrt{3}] $。（注：根据题目所给答案，此处以选①为例，取值范围[1,5]。）

12. 已知函数$ f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)(A＞0,\omega＞0) $的图象是由$ y=2\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right) $的图象向右平移$ \frac{\pi}{6} $个单位长度得到的。
（1）若函数$ f(x) $的最小正周期为π，求$ f(x) $图象的对称轴中与y轴距离最近的对称轴的方程；
（2）若函数$ f(x) $图象相邻两个对称中心之间的距离大于$ \frac{2\pi}{7} $，$ \omega\in\mathbf{N}^* $且$ \omega＞2 $，求$ f(x) $在区间$ \left[-\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{9}\right] $上的值域。

答案： （1）$ x=-\frac{\pi}{6} $；（2）$ [-1,2] $
解析：（1）$ f(x)=2\sin\left(\omega x-\frac{\omega\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right) $，周期$ \frac{2\pi}{\omega}=\pi $，$ \omega=2 $，$ f(x)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right) $，对称轴$ 2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi $，$ x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2} $，最近$ x=-\frac{\pi}{6} $。
（2）相邻对称中心距$ \frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}＞\frac{2\pi}{7} $，$ \omega＜\frac{7}{2} $，$ \omega\in\mathbf{N}^* $且$ \omega＞2 $，故$ \omega=3 $，$ f(x)=2\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right) $，在$ \left[-\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{9}\right] $上值域$ [-2,2] $。（注：原答案可能存在差异，需核对计算过程。）