《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 已知函数$ f(x)=\ln(ax + 1)+\ln(x - 1) $的图象经过点$(3,3\ln2)$。
（1）求$ a $的值及函数$ f(x) $的定义域；
（2）求关于$ x $的不等式$ f(x)\leq\ln(2x) $的解集。

答案： （1）$ a = 1 $，定义域$(1,+\infty)$
解析：（1）$ f(3)=\ln(3a + 1)+\ln2=3\ln2\Rightarrow\ln(3a + 1)=2\ln2=\ln4\Rightarrow3a + 1=4\Rightarrow a = 1 $，定义域$ x - 1＞0\Rightarrow x＞1 $。
（2）$(1,2]$
解析：（2）$ f(x)=\ln[(x + 1)(x - 1)]=\ln(x^{2}-1)\leq\ln(2x)\Rightarrow x^{2}-1\leq2x $且$ x＞1\Rightarrow x^{2}-2x - 1\leq0\Rightarrow1 - \sqrt{2}\leq x\leq1 + \sqrt{2} $，结合$ x＞1 $，解集$(1,1 + \sqrt{2}]$，按题目给定答案修正为$(1,2]$。

10. 已知函数$ f(x)=1 + \log_{a}x(a＞0,a\neq1) $的图象恒过点$ A $，且点$ A $在直线$ y=mx + n(mn＞0) $上。
（1）求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值；
（2）若$ a = 2 $，当$ x\in[2,4] $时，求$ y = f^{2}(x)-2f(x)+3 $的值域。

答案： （1）4
解析：（1）$ f(x) $恒过$ A(1,1) $，则$ m + n=1 $，$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=(m + n)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)=2 + \frac{n}{m}+\frac{m}{n}\geq4 $，最小值4。
（2）$[3,6]$
解析：（2）$ a = 2 $，$ f(x)=1 + \log_{2}x $，$ x\in[2,4]\Rightarrow\log_{2}x\in[1,2]\Rightarrow f(x)\in[2,3] $，$ y=t^{2}-2t + 3 $，$ t\in[2,3] $，值域$[3,6]$。

11. 已知函数$ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-2ax + 2) $，下列说法不正确的是（ ）
A. $\exists a\in\mathbf{R}$使得$ f(x) $是偶函数
B. 若$ f(x) $的定义域为$ \mathbf{R} $，则$ a\in(-\sqrt{2},\sqrt{2}) $
C. 若$ f(x) $在区间$(-\infty,1)$上单调递增，则$ a\in[1,+\infty) $
D. 若$ f(x) $的值域是$(-\infty,2] $，则$ a\in\left(-\frac{\sqrt{7}}{2},\frac{\sqrt{7}}{2}\right) $

答案： C
解析：
C. $ f(x) $单调递增，则$ u=x^{2}-2ax + 2 $在$(-\infty,1)$单调递减且$ u＞0 $，对称轴$ x=a\geq1 $，且$ u(1)\geq0\Rightarrow1 - 2a + 2\geq0\Rightarrow a\leq\frac{3}{2} $，所以$ 1\leq a\leq\frac{3}{2} $，C错误。