《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. （多选）我们的生活经验表明,$ a $ g糖水中有$ b $ g糖$ (a＞b＞0) $,若再添加$ c $ g糖$ (c＞0) $后,糖水会更甜,于是得出一个不等式: $ \frac{b+c}{a+c}＞\frac{b}{a} $,称为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断,下列命题一定正确的是（ ）
A. 若$ a＞b＞0,m＞0 $,则$ \frac{b+m}{a+m} $与$ \frac{b}{a} $的大小关系随$ m $的变化而变化
B. 若$ b＞a＞0,m＞0 $,则$ \frac{b}{a}＞\frac{b+m}{a+m} $
C. 若$ a＞b＞0,c＞d＞0 $,则$ \frac{b+d}{a+d}＜\frac{b+c}{a+c} $
D. 若$ a＞0,b＞0 $,则一定有$ \frac{a}{1+a+b}+\frac{b}{1+a+b}＜\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} $

答案： BCD
解析：A项，由糖水不等式，$ \frac{b+m}{a+m}＞\frac{b}{a} $恒成立，错误；B项，$ b＞a＞0 \Rightarrow \frac{b}{a}＞1 $，添加$ m $后浓度降低，正确；C项，分子分母同加正数，分母增量相同，分子增量$ c＞d $，故后者更大，正确；D项，左边$ =\frac{a+b}{1+a+b}=1-\frac{1}{1+a+b} $，右边$ ＞1-\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b} $，由糖水不等式可证，正确.

10. 设$ a,b,c $为非零实数,且$ a＞b＞c $,则下列判断正确的是______.（填序号）
① $ a+b＞c $;② $ ab＞c^{2} $;③ $ \frac{a+b}{2}＞c $;④ $ ac^{2}＞bc^{2} $;⑤ $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}＜\frac{2}{c} $.

答案： ④
解析：①当$ a=1,b=0,c=-2 $时不成立；②当$ a=1,b=-1,c=-2 $时不成立；③当$ a=1,b=0,c=-2 $时不成立；④$ c^{2}＞0 $，故$ ac^{2}＞bc^{2} $，正确；⑤当$ a=3,b=2,c=1 $时不成立.

11. (1) 用作差法比较多项式$ 3x^{2}-x+1 $与$ 2x^{2}+x-1 $的大小;
(2) 已知$ a＞b＞0,m＞0 $,判断$ \frac{b}{a} $与$ \frac{b+m}{a+m} $的大小关系,并证明.

答案：
(1) $ 3x^{2}-x+1＞2x^{2}+x-1 $
解析：$ (3x^{2}-x+1)-(2x^{2}+x-1)=x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1\geq1＞0 $.
(2) $ \frac{b}{a}＜\frac{b+m}{a+m} $
证明：$ \frac{b+m}{a+m}-\frac{b}{a}=\frac{a(b+m)-b(a+m)}{a(a+m)}=\frac{m(a-b)}{a(a+m)}＞0 $（$ a＞b＞0,m＞0 $）.

12. (1) 设$ x,y,z\in\mathbf{R} $,比较$ 5x^{2}+y^{2}+z^{2} $与$ 2xy+4x+2z-2 $的大小;
(2) 已知$ 1\leq2a+b\leq4,-1\leq a-2b\leq2 $,求$ 10a-5b $的取值范围.

答案：
(1) $ 5x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq2xy+4x+2z-2 $
解析：$ 5x^{2}+y^{2}+z^{2}-(2xy+4x+2z-2)=4x^{2}-4x+1+x^{2}-2xy+y^{2}+z^{2}-2z+1=(2x-1)^{2}+(x-y)^{2}+(z-1)^{2}\geq0 $.
(2) $ [1,10] $
解析：设$ 10a-5b=m(2a+b)+n(a-2b) $，解得$ m=3,n=4 $. 由$ 3×1+4×(-1)\leq10a-5b\leq3×4+4×2 $，即$ -1\leq10a-5b\leq20 $. 原答案为$ [1,10] $，按规范修正后应为$ [-1,20] $.