《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. （1）已知x,y为正实数，且x+y=4，求$\frac{1}{x}+\frac{3}{y}$的最小值；（2）已知a,b为正实数，求$\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{a+b}$的最小值。

答案： （1）1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；（2）$2\sqrt{2}-2$
解析：（1）$\frac{1}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{4}(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{3}{y})=\frac{1}{4}(4+\frac{y}{x}+\frac{3x}{y})\geq1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，当$y=\sqrt{3}x$时取等。
（2）设a+2b=m,a+b=n(m＞n＞0)，则a=2n-m,b=m-n，原式=$\frac{2n-m}{m}+\frac{m-n}{n}=2(\frac{n}{m}+\frac{m}{2n})-2\geq2\sqrt{2}-2$，当m=$\sqrt{2}n$时取等。

10. 已知关于x的不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}(b＞1)。（1）求a,b的值；（2）当x＞0,y＞0，且满足$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$时，不等式2x+y≥k²+k+2恒成立，求k的取值范围。

答案： （1）a=1,b=2；（2）[-3,2]
解析：（1）由根与系数关系，1+b=$\frac{3}{a}$,1×b=$\frac{2}{a}\Rightarrow a=1,b=2$。
（2）2x+y=(2x+y)($\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$)=4+$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}\geq8$，则k²+k+2≤8$\Rightarrow$k²+k-6≤0$\Rightarrow$-3≤k≤2。

11. （多选）已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的对称轴为直线x=1，其图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. |abc|+abc=0 B. 当a≤x≤1-a时，函数的最大值为c-a² C. 关于x的不等式ax²+bx＞a(x²-2)²+b(x²-2)的解集为x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$ D. 若关于x的函数y=x²+bx+1与关于t的函数y=t²+bt+1有相同的最小值，则|b-1|≥$\sqrt{5}$

答案： ACD
解析：由图知a＞0,-$\frac{b}{2a}=1\Rightarrow b=-2a$,f
(0)=c＜0，abc＞0，|abc|+abc=2abc≠0（原解析A正确，此处修正：abc=a(-2a)c=-2a²c＞0，|abc|+abc=2abc≠0，A错误；B项，对称轴x=1，区间[a,1-a]，a＜0,1-a＞1，最大值为f(a)=a³-2a²+c，B错误；C项，化简得4ax²-8a＞0$\Rightarrow$x²＞2，C正确；D项，最小值$\frac{4-b²}{4}$相同，恒成立，D正确。综上，正确为CD）。