《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

7. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x,x≤a\\x³,x＞a\end{cases}$在R上不是增函数,则a的取值范围是_________.

答案： (-∞,0)∪(1,+∞)

8. 已知幂函数$f(x)=(m²-6m+10)x^{-n²+n+6}(n＞1,n∈Z,m∈R)$的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递增.

答案：
(1) m=3,n=2
(2) a∈(2,+∞)

(1) 求m和n的值；

答案： 因为f(x)是幂函数，所以m²-6m+10=1，解得m=3。又图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递增，所以-n²+n+6为正偶数，n＞1,n∈Z，n=2时，-4+2+6=4符合，所以m=3,n=2。

(2) 求满足不等式$(2a+3)^{-\frac{n}{2}}＜(a-1)^{-\frac{n}{2}}$的a的取值范围.

答案： n=2，不等式为$(2a+3)^{-1}$＜(a-1)^{-1}，即\frac{1}{2a+3}＜\frac{1}{a-1}，移项通分\frac{(a-1)-(2a+3)}{(2a+3)(a-1)}＜0，\frac{-a-4}{(2a+3)(a-1)}＜0，等价于(a+4)(2a+3)(a-1)＞0，解得$a∈(-4,-\frac{3}{2})∪(1,+∞)，$又2a+3≠0,a-1≠0，所以$a∈(-4,-\frac{3}{2})∪(1,+∞)。$

9. （多选）已知幂函数f(x)的图象经过点$\left(2,\frac{1}{4}\right),$则（ ）
A. 函数f(x)是减函数
B. 函数f(x)的值域为(0,+∞)
C. 函数f(x)是奇函数
D. 若0＜x₁＜x₂,则$f\left(\frac{x₁+x₂}{2}\right)＜\frac{f(x₁)+f(x₂)}{2}$

答案： ABD

10. 定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x₁,x₂,均有|f(x₁)-f(x₂)|≤k|x₁-x₂|成立,则称函数f(x)在定义域D内满足利普希茨条件.已知函数f(x)=√x(x≥1)满足利普希茨条件,则常数k的可能取值是___.(写1个即可)

答案： $\frac{1}{2}$

11. 已知函数$f(x)=(m²-5m+1)x^{m+1}(m∈Z)$为幂函数,且是奇函数.

答案：
(1) m=0,f(x)=x或m=5,f(x)=x⁶(舍),所以f(x)=x
$(2) \left[-\frac{7}{2},11-4√3\right)$

(1) 求m的值,并确定f(x)的表达式；

答案： 因为f(x)是幂函数，所以m²-5m+1=1，解得m=0或m=5。m=0时，f(x)=x是奇函数；m=5时，f(x)=x⁶是偶函数，所以m=0,f(x)=x。

(2) 令g(x)=f(x)-√(2x+1),求y=g(x)在$x∈\left(-\frac{1}{2},4\right)$时的值域.

答案： g(x)=x - √(2x+1)，令t=√(2x+1)，t∈[0,3)，$x=\frac{t²-1}{2}，$$g(t)=\frac{t²-1}{2}-t=\frac{1}{2}(t-1)²-1，$t=1时取最小值-1，t→3时，$g(t)→\frac{9-1}{2}-3=4-3=1，$所以值域为[-1,1)。