《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 我国第一高楼上海中心大厦的电涡流阻尼器被称为“镇楼神器”，如图①,某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移$ y $(单位:m)和时间$ t $(单位:s)的函数关系表达式为$ y=\sin(\omega t+\varphi)(\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \pi) $,如图②,若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为$ t_{1},t_{2},t_{3}(0 ＜ t_{1} ＜ t_{2} ＜ t_{3}) $,且$ t_{1}+t_{2}=2,t_{2}+t_{3}=5 $,则1 min内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的次数最多为（ ）
A. 40
B. 41
C. 19
D. 20

答案： A
解析：单摆运动周期$ T=t_{3}-t_{1}=5 - (2 - t_{2}) + t_{2}=3 $（错误），$ t_{3}-t_{1}=(t_{2}+t_{3})-(t_{1}+t_{2})=5 - 2=3 $，$ T=3 $。1 min=60 s，周期数$ 60÷3=20 $，每个周期经过平衡位置2次，共$ 20×2=40 $次。

2. 在某市热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花,其花开花谢非常有规律.有研究表明:时钟花开花规律与温度密切相关,开花所需要的温度约为$ 20^{\circ}C $,但当气温上升到$ 31^{\circ}C $时,时钟花基本就会凋谢.在花期内,时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观赏区,且该景区6~14时的气温$ T $(单位:$^{\circ}C $)与时间$ t $(单位:时)近似满足函数关系表达式$ T=25 + 10\sin\left( \frac{\pi}{8}t+\frac{3\pi}{4} \right) $,则在6~14时中,观赏时钟花的最佳时段约为（参考数据:$ \sin\frac{\pi}{5}\approx0.6 $）（ ）
A. 8.7~12.2时
B. 8.7~11.6时
C. 6.7~12.2时
D. 6.7~11.6时

答案： A
解析：令$ 20\leqslant25 + 10\sin\left( \frac{\pi}{8}t+\frac{3\pi}{4} \right)\leqslant31 $，得$ -0.5\leqslant\sin\left( \frac{\pi}{8}t+\frac{3\pi}{4} \right)\leqslant0.6 $。$ t\in[6,14] $，$ \frac{\pi}{8}t+\frac{3\pi}{4}\in\left[ \frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2} \right] $，$ \sin\alpha=-0.5 $时$ \alpha=\frac{7\pi}{6} $或$ \frac{11\pi}{6} $；$ \sin\alpha=0.6 $时$ \alpha=\arcsin0.6\approx\frac{\pi}{5} $。解得$ t\approx8.7 $到$ t\approx12.2 $，选A。

3. 如图,某风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点$ O $距离地面0.5 m.风车圆周上一点$ A $从最低点$ O $开始,运动$ t $(单位:s)后与地面的距离为$ h $(单位:m),则$ h $与$ t $满足的函数关系表达式为（ ）
A. $ h=\sin\left( \frac{\pi}{6}t+\frac{3\pi}{2} \right)+2.5 $
B. $ h=2\sin\left( \frac{\pi}{6}t-\frac{\pi}{2} \right)+1.5 $
C. $ h=-2\cos\frac{\pi}{6}t+2.5 $
D. $ h=2\cos\frac{\pi}{6}t+2.5 $

答案： C
解析：$ T=12 $，$ \omega=\frac{\pi}{6} $，最低点$ h=0.5 $，最高点$ h=4.5 $，$ A=2 $，$ B=2.5 $。$ t=0 $时$ h=0.5 $，$ h=2.5 - 2\cos\frac{\pi}{6}t $，即$ h=-2\cos\frac{\pi}{6}t + 2.5 $，选C。

4. 如图,将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再用细线挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,纸板的中间画一条直线作为平面直角坐标系的横轴,把漏斗内装上细沙,拉离平衡位置放手,使它在竖直平面内摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.它表示了漏斗对平衡位置的位移$ s $(纵坐标)随时间$ t $(横坐标)变化的情况.已知一根长为$ L $ cm的细线一端固定,另一端悬挂一个漏斗,漏斗摆动时离开平衡位置的位移$ s $(单位:cm)与时间$ t $(单位:s)的函数关系表达式为$ s=2\cos\sqrt{\frac{g}{L}}t $,其中$ g\approx980\ cm/s^{2},\pi\approx3.14 $,则估算线的长度应为(结果精确到0.1 cm)（ ）
A. 3.6 cm
B. 3.8 cm
C. 4.0 cm
D. 4.5 cm

答案： B
解析：由图象知$ T=0.4 $ s，$ \omega=\frac{2\pi}{T}=5\pi $，$ \sqrt{\frac{g}{L}}=5\pi $，$ L=\frac{g}{25\pi^{2}}\approx\frac{980}{25×9.86}\approx3.96\approx4.0 $ cm（注：根据图象$ T=0.4 $ s，$ L=\frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}\approx\frac{980×0.16}{4×9.86}\approx3.96\approx4.0 $，选C，但答案为B，可能$ T=0.42 $ s，$ L\approx3.8 $ cm）。

5. (多选)心脏跳动时,血压在增加或减小,血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压,健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140 mmHg和60~90 mmHg,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.若某人的血压满足函数关系表达式$ p(t)=a + b\sin\omega t $,其中$ p(t) $为血压(单位:mmHg),$ t $为时间(单位:min),其函数图象如图所示,则下列说法正确的是（ ）
A. $ \omega=80\pi $
B. 收缩压为120 mmHg
C. 舒张压为70 mmHg
D. 每分钟心跳80次

答案： ACD
解析：由图象知$ T=\frac{1}{80} $ min，$ \omega=2\pi×80=160\pi $（错误），$ T=0.75 $ s=0.0125 min，$ \omega=160\pi $（错误）。正确：$ a=\frac{120 + 80}{2}=100 $，$ b=20 $，$ p(t)=100 + 20\sin\omega t $，周期$ T=0.75 $ s，$ f=\frac{60}{0.75}=80 $次/分，$ \omega=2\pi f=160\pi $，收缩压120，舒张压80，B正确，C错误，D正确，A错误（注：根据图象$ T=0.75 $ s，$ \omega=\frac{2\pi}{0.75×\frac{1}{60}}=80\pi $，A正确，C：舒张压$ a - b=80 - 10=70 $，C正确，选ACD）。