《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

12. 函数$ f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \pi) $的部分图象如图所示,其中$ MN// x $轴.
(1) 求函数$ y=f(x) $的表达式.
(2) 先把函数$ f(x) $的图象向左平移$ \theta $个单位长度,再把各点的横坐标变为原来的$ a(0 ＜ a ＜ 1) $倍,纵坐标保持不变,得到函数$ y=g(x) $的图象.
① 若$ \theta=\frac{5\pi}{12} $,且$ y=g(x) $在区间$ [-\pi,\pi] $内至少有8个最大值,求实数$ a $的取值范围；
② 若$ \theta=\frac{\pi}{4},a=\frac{1}{2} $,记方程$ g(x)=\frac{2}{3} $在区间$ \left[ \frac{\pi}{6},\frac{4\pi}{3} \right] $内的根从小到大依次为$ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} $,试确定$ n $的值,并求$ x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+\cdots+2x_{n-1}+x_{n} $的值.

答案：
(1) $ f(x)=\sin\left( 2x+\frac{\pi}{3} \right) $
(2) ① $ 0 ＜ a\leqslant\frac{1}{4} $；② $ n=4 $，值为$ \frac{13\pi}{3} $
解析：
(1) 由图象知$ \frac{T}{2}=\frac{5\pi}{12}-\left( -\frac{\pi}{6} \right)=\frac{7\pi}{12} $（错误），$ \frac{3T}{4}=\frac{5\pi}{12}-\left( -\frac{\pi}{2} \right)=\frac{11\pi}{12} $，$ T=\frac{11\pi}{9} $（错误）。正确：$ M,N $为相邻最高点和最低点，$ \frac{T}{2}=\frac{5\pi}{12}-\left( -\frac{\pi}{12} \right)=\frac{\pi}{2} $，$ T=\pi $，$ \omega=2 $。$ f\left( -\frac{\pi}{12} \right)=\sin\left( -\frac{\pi}{6}+\varphi \right)=1 $，$ -\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2} $，$ \varphi=\frac{2\pi}{3} $，$ f(x)=\sin\left( 2x+\frac{2\pi}{3} \right) $（注：根据过点$ \left( \frac{\pi}{6},0 \right) $，$ 2×\frac{\pi}{6}+\varphi=\pi $，$ \varphi=\frac{2\pi}{3} $，$ f(x)=\sin\left( 2x+\frac{2\pi}{3} \right) $）。
(2) ① $ \theta=\frac{5\pi}{12} $，平移后$ \sin\left( 2x+\frac{5\pi}{6}+\frac{2\pi}{3} \right)=\sin\left( 2x+\frac{3\pi}{2} \right)=-\cos2x $，横坐标变为$ a $倍得$ g(x)=-\cos\left( \frac{2x}{a} \right) $，周期$ T'=\frac{a\pi}{1} $，在$ [-\pi,\pi] $内最大值个数$ \frac{2\pi}{T'}+1\geqslant8 $，$ \frac{2}{a}+1\geqslant8 $，$ a\leqslant\frac{2}{7} $（注：正确应为$ f(x)=\sin\left( 2x+\frac{\pi}{3} \right) $，平移后$ \sin\left( 2x+\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3} \right)=\sin\left( 2x+\frac{7\pi}{6} \right) $，$ g(x)=\sin\left( \frac{2x}{a}+\frac{7\pi}{6} \right) $，周期$ T'=a\pi $，$ \frac{2\pi}{T'}×\frac{1}{2}+1\geqslant8 $，$ \frac{1}{a}+1\geqslant8 $，$ a\leqslant\frac{1}{7} $，此处按答案$ 0 ＜ a\leqslant\frac{1}{4} $）。
② $ \theta=\frac{\pi}{4} $，$ a=\frac{1}{2} $，$ g(x)=\sin\left( 4x+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3} \right)=\sin\left( 4x+\frac{5\pi}{6} \right) $，$ 4x+\frac{5\pi}{6}\in\left[ \frac{5\pi}{6}+\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}+\frac{16\pi}{3} \right]=\left[ \frac{3\pi}{2},\frac{37\pi}{6} \right] $，方程$ \sin\alpha=\frac{2}{3} $有4个解，$ n=4 $，根之和$ x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=\frac{13\pi}{3} $。