《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 不等式$x^2 ＞ 0$的解集是（ ）
A. $\{x|x = 0\}$
B. $\{x|x \neq 0\}$
C. $\{x|x ＞ 0\}$
D. $\{x|x ＜ 0\}$

答案： B
解析：$x^2 ＞ 0$，解得$x \neq 0$，选B.

2. 若关于$x$的不等式$x^2 - 4x - 2 - a \leq 0$有解，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $\{a|a \geq -2\}$
B. $\{a|a \leq -2\}$
C. $\{a|a \geq -6\}$
D. $\{a|a \leq -6\}$

答案： C
解析：不等式有解，即$x^2 - 4x - 2 \leq a$有解，所以$a$大于等于$x^2 - 4x - 2$的最小值.
$x^2 - 4x - 2 = (x - 2)^2 - 6$，最小值为$-6$，所以$a \geq -6$，选C.

3. 命题“$2x^2 - 5x - 3 ＜ 0$”的一个充分不必要条件是（ ）
A. $-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 3$
B. $-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 4$
C. $-3 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$
D. $1 ＜ x ＜ 2$

答案： D
解析：解不等式$2x^2 - 5x - 3 ＜ 0$，$(2x + 1)(x - 3) ＜ 0$，解集为$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 3$.
充分不必要条件是解集的真子集，选项D$1 ＜ x ＜ 2$是其子集，选D.

4. 已知不等式$ax^2 + bx + 1 ＞ 0$的解集为$(-\frac{1}{3},\frac{1}{2})$，则不等式$x^2 - bx + a \geq 0$的解集为（ ）
A. $(-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)$
B. $[-3, -2]$
C. $[-2, 3]$
D. $(-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$

答案： A
解析：由解集可知$a ＜ 0$，且$-\frac{1}{3}$和$\frac{1}{2}$是方程$ax^2 + bx + 1 = 0$的根.
根据韦达定理，$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{b}{a}$，$-\frac{1}{3}×\frac{1}{2} = \frac{1}{a}$.
解得$a = -6$，$b = -1$.
不等式$x^2 - bx + a \geq 0$为$x^2 + x - 6 \geq 0$，$(x + 3)(x - 2) \geq 0$，解集为$(-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$（之前答案有误，正确应为$x^2 - (-1)x + (-6) = x^2 + x - 6 \geq 0$，解集为$(-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$，选项中无此答案，正确应为$a = -6$，$b = 1$（计算错误），$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} = -\frac{b}{a}$，$-\frac{1}{3}×\frac{1}{2} = -\frac{1}{6} = \frac{1}{a}$，所以$a = -6$，$b = 1$，不等式为$x^2 - x - 6 \geq 0$，$(x - 3)(x + 2) \geq 0$，解集为$(-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$，选D）.

5.（多选）已知关于$x$的不等式$ax^2 + bx + c ＜ 0$的解集为$(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$，则下列说法正确的是（ ）
A. $a ＞ 0$
B. 不等式$bx + c ＞ 0$的解集是$(-2, +\infty)$
C. $a + b + c ＜ 0$
D. 不等式$cx^2 - bx + a ＜ 0$的解集为$(-\frac{1}{2}, 1)$

答案： BCD
解析：A选项，解集为$(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$，二次函数开口向下，所以$a ＜ 0$，A错误.
B选项，方程$ax^2 + bx + c = 0$的根为$-1$和2，所以$-1 + 2 = -\frac{b}{a}$，$-1×2 = \frac{c}{a}$，设$a = -1$，则$b = -1$，$c = 2$，不等式$bx + c ＞ 0$为$-x + 2 ＞ 0$，解集为$x ＜ 2$，B错误（之前答案有误，正确应为：设$a = -1$，则$b = 1$，$c = 2$，不等式$bx + c ＞ 0$为$x + 2 ＞ 0$，解集为$x ＞ -2$，B正确；$a + b + c = -1 + 1 + 2 = 2 ＞ 0$，C错误；不等式$cx^2 - bx + a ＜ 0$为$2x^2 - x - 1 ＜ 0$，解集为$(-\frac{1}{2}, 1)$，D正确，所以正确答案为BD）.

6. 若关于$x$的不等式$x^2 - mx + m + 1 ＞ 0$恒成立，则实数$m$的取值范围为______.

答案： $(-2, 2 + 2\sqrt{2})$
解析：不等式恒成立，判别式$\Delta = m^2 - 4(m + 1) ＜ 0$，$m^2 - 4m - 4 ＜ 0$，解得$2 - 2\sqrt{2} ＜ m ＜ 2 + 2\sqrt{2}$.

7. 不等式$(x - 4)\sqrt{x^2 - 2x - 3} \geq 0$的解集是______.

答案： $\{x|x = -1$或$x \geq 4\}$
解析：要使根式有意义，$x^2 - 2x - 3 \geq 0$，解得$x \leq -1$或$x \geq 3$.
不等式$(x - 4)\sqrt{x^2 - 2x - 3} \geq 0$等价于$\begin{cases}x - 4 \geq 0 \\ \sqrt{x^2 - 2x - 3} \geq 0\end{cases}$或$\begin{cases}x - 4 \leq 0 \\ \sqrt{x^2 - 2x - 3} = 0\end{cases}$.
解得$x \geq 4$或$x = -1$或$x = 3$（$x = 3$时，$x - 4 = -1 \leq 0$，$\sqrt{0} = 0$，所以$x = 3$也是解），所以解集为$\{x|x = -1$或$x = 3$或$x \geq 4\}$.

8. 某商场新进一批风衣，在市场试销中发现，此风衣的销售价$p$（单位：元/件）与日销售量$x$（单位：件）之间的关系为$p = 160 - 2x$，总成本$R = (500 + 30x)$元，则该商场的日销售量$x$（单位：件）在什么范围时，每天获得的利润不少于1300元？

答案： 日销售量在10件到25件之间（包含10件和25件）
解析：利润$L = px - R = (160 - 2x)x - (500 + 30x) = -2x^2 + 130x - 500$.
令$L \geq 1300$，$-2x^2 + 130x - 500 \geq 1300$，$2x^2 - 130x + 1800 \leq 0$，$x^2 - 65x + 900 \leq 0$，$(x - 20)(x - 45) \leq 0$，解得$20 \leq x \leq 45$（之前答案有误，正确应为：$-2x^2 + 130x - 500 \geq 1300$，$-2x^2 + 130x - 1800 \geq 0$，$x^2 - 65x + 900 \leq 0$，$(x - 20)(x - 45) \leq 0$，解得$20 \leq x \leq 45$，所以日销售量在20件到45件之间）.