《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 使x＞2成立的一个必要条件是（ ）
A. x＞0
B. x＞4
C. x＞3
D. x＜3

答案： A
解析：x＞2⇒x＞0，故x＞0是必要条件。

2. 已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=2”是“A⊆B”的（ ）
A. 充要条件
B. 充分条件
C. 必要条件
D. 既不充分又不必要条件

答案： B
解析：a=2⇒A⊆B，但A⊆B时a=2或3，故为充分条件。

3. “1＜x＜2”是“x≤3”的（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件

答案： A
解析：1＜x＜2⇒x≤3，故为充分条件。

4. 设a，b∈R，则“ab+1-a-b=0”的充要条件是（ ）
A. a，b都为1
B. a，b不都为1
C. a，b中至少有一个为1
D. a，b都不为0

答案： C
解析：ab+1-a-b=(a-1)(b-1)=0⇒a=1或b=1，即至少有一个为1。

5. （多选）下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的是（ ）
A. p：a能被6整除，q：a能被3整除
B. p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形
C. p：x＞5，q：x≥3
D. p：a＞b，q：ac²＞bc²

答案： AC
解析：A中6整除⇒3整除；C中x＞5⇒x≥3；B中两角相等可能是等腰三角形；D中c=0时不成立。

6. “函数y=x²+mx+5的图象关于直线x=3对称”的充要条件是 ．

答案： m=-6
解析：对称轴x=-m/2=3⇒m=-6。

7. 已知集合A={x|-1＜x≤6}，B={x|-1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分条件，则实数m的取值范围是 ．

答案： (5，+∞)
解析：A⊆B⇒m+1＞6⇒m＞5。

8. 设$a,b,c\in\mathbf{R}$，求证：“$ac＜0$”是“关于$x$的方程$ax^2+bx + c=0$有一个正根和一个负根”的充要条件.

答案： 证明：
充分性：若$ac＜0$，则方程$ax^2+bx + c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac$，因为$ac＜0$，所以$-4ac＞0$，则$\Delta=b^2-4ac＞0$，方程有两个不等实根。设两根为$x_1,x_2$，由韦达定理得$x_1x_2=\frac{c}{a}$，因为$ac＜0$，所以$\frac{c}{a}＜0$，即两根异号，所以方程有一个正根和一个负根。
必要性：若方程$ax^2+bx + c=0$有一个正根和一个负根，设两根为$x_1,x_2$，则$x_1x_2=\frac{c}{a}＜0$，所以$ac＜0$。
综上，“$ac＜0$”是“方程$ax^2+bx + c=0$有一个正根和一个负根”的充要条件。