《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 已知$f(x)$是反比例函数，且$f(-3)=-1$，则$f(x)$的表达式为（ ）
A. $f(x)=-\frac{3}{x}$ B. $f(x)=\frac{3}{x}$ C. $f(x)=3x$ D. $f(x)=-3x$

答案： B
解析：设$f(x)=\frac{k}{x}$，$f(-3)=\frac{k}{-3}=-1$，解得$k=3$，所以$f(x)=\frac{3}{x}$。

2. 已知$f(x)$是一次函数，且满足$2f(2)-3f(1)=5$，$2f(0)-f(-1)=1$，则$f(x)$等于（ ）
A. $3x+2$ B. $3x-2$ C. $2x+3$ D. $2x-3$

答案： B
解析：设$f(x)=kx+b$，则$\begin{cases}2(2k+b)-3(k+b)=5\\2b-(-k+b)=1\end{cases}$，解得$k=3$，$b=-2$，所以$f(x)=3x-2$。

3. 如图，在直角梯形$OABC$中，$AB// OC$，$AB=1$，$OC=BC=2$，梯形$OABC$位于直线$l:x=t(0\leq t\leq2)$左侧的图形的面积为$S$，则函数$S=f(t)$的图象大致为（ ）

答案： A
解析：当$0\leq t\leq1$时，$S=\frac{1}{2}t\cdot2t=t^{2}$；当$1＜t\leq2$时，$S=\frac{1}{2}×1×2+(t-1)×2=2t-1$，图象为分段函数，A选项符合。

4. 已知二次函数$f(x)$满足$f(2x)+f(x-1)=10x^{2}-7x+5$，则$f(f\left(\frac{1}{2}\right))$的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案： B
解析：设$f(x)=ax^{2}+bx+c$，代入$f(2x)+f(x-1)=10x^{2}-7x+5$，对比系数解得$a=3$，$b=-1$，$c=1$，所以$f(x)=3x^{2}-x+1$，$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}+1=\frac{5}{4}$，$f\left(\frac{5}{4}\right)=3×\frac{25}{16}-\frac{5}{4}+1=\frac{75}{16}-\frac{20}{16}+\frac{16}{16}=\frac{71}{16}$（注：原答案“2”有误，修正为“$\frac{71}{16}$”）。

5.（多选）已知$f(2x-1)=4x^{2}$，则下列结论正确的是（ ）
A. $f(3)=9$ B. $f(-3)=4$ C. $f(x)=x^{2}$ D. $f(x)=(x+1)^{2}$

答案： ABD
解析：令$t=2x-1$，则$x=\frac{t+1}{2}$，$f(t)=4\left(\frac{t+1}{2}\right)^{2}=(t+1)^{2}$，所以$f(x)=(x+1)^{2}$。$f(3)=16$（注：原选项A“$f(3)=9$”有误），$f(-3)=4$，BD正确。

6. 已知$f(\sqrt{x}+2)=x-2\sqrt{x}+3$，则$f(x)=$______.

答案： $x^{2}-6x+11(x\geq2)$
解析：令$t=\sqrt{x}+2\geq2$，则$\sqrt{x}=t-2$，$x=(t-2)^{2}$，$f(t)=(t-2)^{2}-2(t-2)+3=t^{2}-6t+11$，所以$f(x)=x^{2}-6x+11(x\geq2)$。

7. 已知$f\left(\frac{x}{1+x}\right)=x+1$，则$f(x)=$______.

答案： $\frac{1}{1-x}(x\neq1)$
解析：令$t=\frac{x}{1+x}$，则$x=\frac{t}{1-t}$，$f(t)=\frac{t}{1-t}+1=\frac{1}{1-t}$，所以$f(x)=\frac{1}{1-x}(x\neq1)$。

8. 若二次函数$f(x)$满足$f(0)=1$，$f(x+1)-f(x)=x$，求$f(x)$.

答案： $f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+1$
解析：设$f(x)=ax^{2}+bx+c$，$f(0)=c=1$，$f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=x$，则$\begin{cases}2a=1\\a+b=0\end{cases}$，解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$，所以$f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+1$。