《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 若$x_1,x_2$是二次函数$y = x^2 - 5x + 6$的两个零点，则$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$的值为（ ）
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{3}$
C. $-\frac{1}{6}$
D. $\frac{5}{6}$

答案： D
解析：二次函数$y = x^2 - 5x + 6$，令$y = 0$，$x^2 - 5x + 6 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 3$.
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$，所以选D.

2. 二次函数$y = 2x^2 + bx - 3(b\in\mathbf{R})$的零点个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

答案： C
解析：判别式$\Delta = b^2 - 4×2×(-3) = b^2 + 24$.
因为$b^2 \geq 0$，所以$\Delta = b^2 + 24 ＞ 0$，所以函数有两个不同的零点，选C.

3. 若函数$y = ax + b(a\neq0)$经过点$(2,0)$，则函数$y = bx^2 - ax$的零点是（ ）
A. $x_1 = 0,x_2 = 2$
B. $x_1 = 0,x_2 = \frac{1}{2}$
C. $x_1 = 0,x_2 = -\frac{1}{2}$
D. $x_1 = 2,x_2 = -\frac{1}{2}$

答案： C
解析：因为函数$y = ax + b$经过点$(2,0)$，所以$2a + b = 0$，$b = -2a$.
函数$y = bx^2 - ax = -2ax^2 - ax = -ax(2x + 1)$.
令$y = 0$，则$-ax(2x + 1) = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = -\frac{1}{2}$，选C.

4. 已知函数$y = ax^2 + bx + 1$有两个零点$x_1,x_2$，则“$|a| \geq 1$”是“$|x_1| + |x_2| \leq 2$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件

答案： D
解析：当$a = 1$，$b = -3$时，函数为$y = x^2 - 3x + 1$，零点$x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，$|x_1| + |x_2| = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = 3 ＞ 2$，所以“$|a| \geq 1$”不是充分条件.
当$|x_1| + |x_2| \leq 2$时，取$x_1 = x_2 = 1$，则函数为$y = a(x - 1)^2$，展开得$y = ax^2 - 2ax + a$，所以$a = 1$，$|a| = 1$；取$x_1 = 0.5$，$x_2 = 0.5$，函数为$y = a(x - 0.5)^2$，$a = 4$，$|a| = 4$；取$x_1 = 1$，$x_2 = 0$，函数为$y = ax(x - 1)$，$a = 1$，所以“$|a| \geq 1$”也不是必要条件，选D.

5.（多选）已知函数$y = (x - 2)(x - 4) - 1$有两个零点$x_1,x_2$，且$x_1 ＜ x_2$，下列说法不正确的是（ ）
A. $x_1 ＜ 2$且$2 ＜ x_2 ＜ 4$
B. $x_1 ＞ 2$且$x_2 ＞ 4$
C. $x_1 ＜ 2$且$x_2 ＞ 4$
D. $2 ＜ x_1 ＜ 4$且$x_2 ＞ 4$

答案： ABD
解析：令$f(x) = (x - 2)(x - 4) - 1 = x^2 - 6x + 7$.
$f(2) = 4 - 12 + 7 = -1$，$f(4) = 16 - 24 + 7 = -1$，$f(1) = 1 - 6 + 7 = 2$，$f(5) = 25 - 30 + 7 = 2$.
函数图象开口向上，所以零点$x_1 ＜ 2$，$x_2 ＞ 4$，所以A、B、D不正确，选ABD.

6. 若函数$f(x) = x^2 + ax + 1$有两个不同的零点，则实数$a$的取值范围是______.

答案： $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$
解析：函数有两个不同零点，判别式$\Delta = a^2 - 4 ＞ 0$，解得$a ＜ -2$或$a ＞ 2$.

7. 设$m$为实数，已知函数$y = x^2 + mx + 5$的两个零点在区间$(0, +\infty)$内，则$m$的取值范围是______.

答案： $(-\infty, -2\sqrt{5})$
解析：函数两个零点在$(0, +\infty)$内，所以$\Delta = m^2 - 20 ＞ 0$，$-\frac{m}{2} ＞ 0$，$f(0) = 5 ＞ 0$.
由$\Delta ＞ 0$得$m ＜ -2\sqrt{5}$或$m ＞ 2\sqrt{5}$；由$-\frac{m}{2} ＞ 0$得$m ＜ 0$，所以$m ＜ -2\sqrt{5}$.

8. 已知关于$x$的方程$x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - m = 0$有两个实数根$\alpha,\beta$，且$\alpha^2 + \beta^2 = 12$，求$m$的值.

答案： $m = -1$
解析：根据韦达定理，$\alpha + \beta = -2(m - 1)$，$\alpha\beta = m^2 - m$.
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = [ -2(m - 1)]^2 - 2(m^2 - m) = 4(m^2 - 2m + 1) - 2m^2 + 2m = 4m^2 - 8m + 4 - 2m^2 + 2m = 2m^2 - 6m + 4 = 12$.
所以$2m^2 - 6m - 8 = 0$，$m^2 - 3m - 4 = 0$，解得$m = 4$或$m = -1$.
判别式$\Delta = [2(m - 1)]^2 - 4(m^2 - m) = 4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 + 4m = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 4m = -4m + 4 \geq 0$，解得$m \leq 1$，所以$m = -1$.