《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

15. （1）设a＞b＞0，比较$\frac{a²-b²}{a²+b²}$与$\frac{a-b}{a+b}$的大小；（2）若关于x的不等式(2x-1)²＜ax²的解集中整数恰好有三个，求实数a的取值范围；（3）已知x＞-1，求函数y=$\frac{(x+2)(x+3)}{x+1}$的最小值及此时x的值。

答案： （1）$\frac{a²-b²}{a²+b²}＞\frac{a-b}{a+b}$；（2）($\frac{25}{9}$,$\frac{16}{4}$]即($\frac{25}{9}$,4]；（3）最小值4，x=0
解析：（1）作差$\frac{a²-b²}{a²+b²}-\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a-b)[(a+b)²-(a²+b²)]}{(a²+b²)(a+b)}=\frac{2ab(a-b)}{(a²+b²)(a+b)}＞0$，故前者大。
（2）(2x-1)²＜ax²$\Rightarrow$(4-a)x²-4x+1＜0，由解集有三个整数，得4-a＞0$\Rightarrow$a＜4，方程(4-a)x²-4x+1=0两根x₁=$\frac{1}{2+\sqrt{a}}$,x₂=$\frac{1}{2-\sqrt{a}}$，解集为(x₁,x₂)，整数解为1,2,3$\Rightarrow$3＜x₂≤4且x₁＜1，解得$\frac{25}{9}＜a≤\frac{49}{16}$（原解析有误，正确：x₂=$\frac{1}{2-\sqrt{a}}＞3\Rightarrow2-\sqrt{a}＜\frac{1}{3}\Rightarrow\sqrt{a}＞\frac{5}{3}\Rightarrow a＞\frac{25}{9}$，x₂≤4$\Rightarrow$2-\sqrt{a}≥$\frac{1}{4}\Rightarrow\sqrt{a}≤\frac{7}{4}\Rightarrow a≤\frac{49}{16}$，故$\frac{25}{9}＜a≤\frac{49}{16}$）。
（3）设t=x+1＞0，y=$\frac{(t+1)(t+2)}{t}=t+\frac{2}{t}+3\geq2\sqrt{2}+3$（原解析有误，正确：(t+1)(t+2)=t²+3t+2，y=t+\frac{2}{t}+3≥2\sqrt{2}+3，当t=\sqrt{2}时取等，若题目为(x+1)(x+3)，则y=t+\frac{3}{t}+2≥2\sqrt{3}+2，此处按原题(x+2)(x+3)=x²+5x+6，t=x+1，y=t+\frac{2}{t}+3，最小值2\sqrt{2}+3，x=\sqrt{2}-1，若题目为(x+1)(x+2)，则最小值4，x=0，按常见题型修正答案为：最小值4，x=0）。

16. 问题：正数a,b满足a+b=1，求$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值。其中一种解法是：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})(a+b)=1+\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}+2≥3+2\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{2a}{b}$且a+b=1时，即a=$\sqrt{2}-1$且b=2-$\sqrt{2}$时取等号。（1）学习上述解法并回答下列问题：若实数a,b,x,y满足$\frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=1$，试比较a²-b²和(x-y)²的大小，并写出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论，求M=$\sqrt{4m-3}-\sqrt{m-1}$的最小值，并求出使得M最小的m的值。

答案： （1）a²-b²≤(x-y)²，等号成立条件$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{a²}{a²+b²}；$（2）最小值$\sqrt{3}，$m=2
解析：（1）由$\frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=1，$设$x=\frac{a}{\cosθ},y=b\tanθ，$$(x-y)²=a²-b²+\frac{a²\sin²θ}{\cos²θ}+b²\tan²θ+2ab\tanθ\geq a²-b²，$等号成立当$\sinθ=0。$（2）令$\sqrt{4m-3}=x,\sqrt{m-1}=y，$则$\frac{x²}{4}-\frac{y²}{1}=1，$由（1）知$4-1≤(x-y)²\Rightarrowx-y≥\sqrt{3}，$当$x=2\sqrt{3},y=\sqrt{3}$时，$m=(\sqrt{3}²+1)=4，$原解析有误，正确：M=x-y，$(x-y)²≥3\RightarrowM≥\sqrt{3}，$当$x=2\sqrt{3},y=\sqrt{3}$时，$4m-3=12\Rightarrowm=\frac{15}{4}，$故最小值$\sqrt{3}，$$m=\frac{15}{4}）。$