《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

8. 已知函数$ f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)(x\in\mathbf{R}) $,求：
（1）函数$ f(x) $的最小正周期及减区间；
（2）函数$ f(x) $在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值和最小值.

答案： （1）最小正周期$\pi$，减区间$[\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{2\pi}{3}+k\pi](k\in\mathbf{Z})$；（2）最大值2，最小值-1
解析：（1）$ T=\frac{2\pi}{2}=\pi $，减区间：$ \frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{3\pi}{2}+2k\pi $，$ \frac{\pi}{6}+k\pi\leqslant x\leqslant\frac{2\pi}{3}+k\pi $；（2）$ x\in[0,\frac{\pi}{2}] $，$ 2x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}] $，$ \sin t\in[-\frac{1}{2},1] $，最大值2，最小值-1。

9. （多选）已知函数$ f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega＞0,0＜\varphi＜\pi) $,则（ ）
A. 存在$ \varphi $的值,使得$ f(x) $是奇函数
B. 存在$ \varphi $的值,使得$ f(x) $是偶函数
C. 不存在$ \varphi $的值,使得$ f(x) $是奇函数
D. 不存在$ \varphi $的值,使得$ f(x) $是偶函数

答案： AB
解析：$ \varphi=0 $时，奇函数，但$ 0＜\varphi＜\pi $，$ \varphi=\frac{\pi}{2} $时，$ f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{2})=\cos\omega x $是偶函数，故存在$ \varphi=\frac{\pi}{2} $使$ f(x) $为偶函数，存在$ \varphi=\pi $（舍去），故A错误，B正确，原答案AB可能有误，应为B。

10. 已知函数$ f(x)=2\sin\left(x+\frac{7\pi}{3}\right) $,设$ a=f\left(\frac{\pi}{7}\right) $,$ b=f\left(\frac{\pi}{6}\right) $,$ c=f\left(\frac{\pi}{3}\right) $,则$ a,b,c $的大小关系是______.

答案： $ c＜a＜b $
解析：$ f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) $（$ \frac{7\pi}{3}=2\pi+\frac{\pi}{3} $），$ a=2\sin\left(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{10\pi}{21} $，$ b=2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}=2 $，$ c=2\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3} $，$ \frac{10\pi}{21}＞\frac{\pi}{2} $，$ \sin\frac{10\pi}{21}=\sin\frac{11\pi}{21}＜1 $，$ c=\sqrt{3}\approx1.732 $，$ a=2\sin\frac{10\pi}{21}\approx2\sin0.476\pi\approx2×0.939=1.878 $，故$ c＜a＜b $。

11. 从①$ y=f(x) $图象的一条对称轴是直线$ x=\frac{\pi}{8} $,②$ f(0)=-\frac{\sqrt{2}}{2} $,③$ y=f(x) $的图象关于点$(\frac{7\pi}{8},0)$成中心对称三个条件中任选一个补充到问题中并求解:已知函数$ f(x)=\sin(2x+\varphi)(-\pi＜\varphi＜0) $,______,求函数$ y=f(x) $的单调递增区间.

答案： 选①：单调递增区间$[-\frac{5\pi}{8}+k\pi,\frac{\pi}{8}+k\pi](k\in\mathbf{Z})$
解析：选①，$ 2×\frac{\pi}{8}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi $，$ \varphi=\frac{\pi}{4}+k\pi $，$ -\pi＜\varphi＜0 $，$ k=-1 $，$ \varphi=-\frac{3\pi}{4} $，$ f(x)=\sin(2x-\frac{3\pi}{4}) $，增区间$ -\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2x-\frac{3\pi}{4}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi $，$ \frac{\pi}{8}+k\pi\leqslant x\leqslant\frac{5\pi}{8}+k\pi $（原答案可能有误，应为$[\frac{\pi}{8}+k\pi,\frac{5\pi}{8}+k\pi](k\in\mathbf{Z})$）。

12. 已知函数$ f(x)=2\sin\left(2\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega＞0) $.
（1）若点$(\frac{5\pi}{8},0)$是函数$ f(x) $图象的一个对称中心,且$ \omega\in(0,1) $,求函数$ f(x) $的值域；
（2）若函数$ f(x) $在区间$(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$上单调递增,求实数$ \omega $的取值范围.

答案： （1）$[-2,2]$；（2）$(0,\frac{1}{4}]$
解析：（1）$ 2\omega×\frac{5\pi}{8}+\frac{\pi}{6}=k\pi $，$ \omega=\frac{4k}{5}-\frac{2}{15} $，$ \omega\in(0,1) $，$ k=1 $，$ \omega=\frac{4}{5}-\frac{2}{15}=\frac{2}{3} $，$ f(x)=2\sin\left(\frac{4}{3}x+\frac{\pi}{6}\right) $，值域$[-2,2]$；（2）$ -\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2\omega x+\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi $，$ \frac{-\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{2\omega}\leqslant x\leqslant\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{2\omega} $，区间$(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$在增区间内，$ \frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{2\omega}\geqslant\frac{2\pi}{3} $且$ \frac{-\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{2\omega}\leqslant\frac{\pi}{3} $，$ k=0 $时，$ \omega\leqslant\frac{1}{4} $，$ \omega＞0 $，故$ (0,\frac{1}{4}] $。