《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 已知命题：$\exists x\in\mathbf{R},4x^2 + ax + \frac{1}{4}\leqslant0$。若该命题的否定是真命题，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $a＜-2$
B. $-2\leqslant a\leqslant2$
C. $a\geqslant2$
D. $-2＜a＜2$

答案： D
解析：命题的否定是$\forall x\in\mathbf{R},4x^2 + ax + \frac{1}{4}＞0$，该否定为真命题，则判别式$\Delta=a^2 - 4×4×\frac{1}{4}=a^2 - 4＜0$，解得$-2＜a＜2$，选D。

10. 已知命题：$\exists x\in\mathbf{R}$，使得方程$ax^2 + 2x + 1=0$成立。若该命题为真命题，则实数$a$的取值范围是______.

答案： $a\leqslant1$
解析：当$a=0$时，方程为$2x + 1=0$，有实根；当$a\neq0$时，方程为一元二次方程，由$\Delta=4 - 4a\geqslant0$，得$a\leqslant1$且$a\neq0$，综上，$a\leqslant1$。

11. 已知命题$p$：$\forall 3\leqslant x\leqslant5$，都有$m\geqslant x$；命题$q$：$\exists 3\leqslant x\leqslant5$，使$m\geqslant x$。若命题$p$为假命题，命题$q$的否定为假命题，求实数$m$的取值范围.

答案： 因为$p$为假命题，所以$\exists x\in[3,5]$，使得$m＜x$，即$m＜5$。因为$q$的否定为假命题，所以$q$为真命题，即$\exists x\in[3,5]$，使$m\geqslant x$，所以$m\geqslant3$。综上，$3\leqslant m＜5$。

12. 已知函数$y_1=x^2 - 2x + 2$，$y_2=ax - 2(a＞0)$。若$\forall -1\leqslant x_1\leqslant3$，$\exists -1\leqslant x_2\leqslant3$，使得$x_1^2 - 2x_1 + 2=ax_2 - 2$，求实数$a$的取值范围.

答案： 当$-1\leqslant x_1\leqslant3$时，$y_1=x_1^2 - 2x_1 + 2=(x_1 - 1)^2 + 1$，其值域为$[1,5]$。$y_2=ax_2 - 2(a＞0)$在$-1\leqslant x_2\leqslant3$上的值域为$[-a - 2,3a - 2]$。依题意，$[1,5]\subseteq[-a - 2,3a - 2]$，所以$\begin{cases}-a - 2\leqslant1\\3a - 2\geqslant5\end{cases}$，解得$a\geqslant\frac{7}{3}$。