《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社七年级数学上册人教版》

10. 我们规定：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”，如：$A = 5x + 1$，$B = 4 - 2x$，$C = 7x - 3$，$A - B = 5x + 1 - (4 - 2x) = 5x + 1 - 4 + 2x = 7x - 3$，那么多项式$A$，$B$，$C$被称为“友好多项式”。
任务：如图，现有甲、乙、丙、丁四张卡片：

（1）试判断甲、乙、丙三张卡片上的多项式是不是“友好多项式”？并说明理由；
（2）若丁卡片上的多项式与甲、乙两张卡片上的多项式是“友好多项式”，求丁卡片上的多项式$ax^{2} + bx + c$。

答案： 10.【解】（1）甲、乙、丙三张卡片上的多项式是“友好多项式”.
理由：$\because (3x^{2}-x+1)-(2x^{2}-3x-2)=3x^{2}-x+1-2x^{2}+3x+2=x^{2}+2x+3$，
∴甲、乙、丙三张卡片上的多项式是“友好多项式”.
（2）由题意得：
①$ax^{2}+bx+c=(x^{2}+2x+3)-(2x^{2}-3x-2)=x^{2}+2x+3-2x^{2}+3x+2=-x^{2}+5x+5$；
②$ax^{2}+bx+c=(2x^{2}-3x-2)-(x^{2}+2x+3)=2x^{2}-3x-2-x^{2}-2x-3=x^{2}-5x-5$；
③$ax^{2}+bx+c=(x^{2}+2x+3)+(2x^{2}-3x-2)=x^{2}+2x+3+2x^{2}-3x-2=3x^{2}-x+1$.
∴丁卡片上的多项式为$-x^{2}+5x+5$或$x^{2}-5x-5$或$3x^{2}-x+1$.