《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 [2025 青岛李沧区期末]已知五根小木棒的长度分别为 7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,下列摆放正确的是 (C)

答案： C
∵7²=49,15²=225,20²=400,24²=576,25²=625,
∴7²+24²=25²,15²+20²=25²,
∴用7,24,25三根木棒能摆成直角三角形，用15,20,25三根木棒能摆成直角三角形。

2 直角三角形中一直角边的长为 9,另两边的长为连续的自然数,求该直角三角形的周长.

答案： 解:设另一直角边的长为a,则斜边的长为a+1。根据勾股定理,得(a+1)² - a²=9²,解得a=40,则a+1=41,故该直角三角形的周长为9+40+41=90。

3 如果将直角三角形的三条边长同时扩大相同的倍数,那么得到的三角形还是直角三角形吗?

答案： 解:设原直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边为c,则a²+b²=c²。已知三条边同时扩大相同的倍数,设为k(k＞0)倍,则扩大后的直角三角形的边长为ka,kb,kc。
∵(ka)²+(kb)²=k²a²+k²b²=k²(a²+b²)=k²c²=(kc)²,
∴如果将直角三角形的三条边长同时扩大相同的倍数,那么得到的三角形是直角三角形。

4 [2025 南阳期末]如图,在 $5 × 5$ 的网格中,每个小正方形的边长均为 1,点 $A,D$ 在格点(网格线的交点)上,点 $B$ 在网格线上,线段 $AB$ 的垂直平分线经过格点 $C$,求 $BD$ 的长.

答案：
解:如图,连接AC,BC。
∵每个小正方形的边长均为1,
∴根据勾股定理可,得AC²=1²+5²=26。
∵线段AB的垂直平分线经过格点C,
∴BC=AC,
∴BC²=AC²=26。在Rt△BCD中,BD=√(BC² - CD²)=√(26 - 4²)=√10。

5 [2025 武威期末]如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$AE$ 平分 $\angle BAC$.
(1) 若 $\angle BAC = 86^{\circ}, \angle C = 32^{\circ}$,求 $\angle DAE$ 的度数;
(2) 若 $AB = 15,AC = 20,AD = 12$,求证:$\angle BAC = 90^{\circ}$.

答案：
(1)解:
∵AE平分∠BAC,∠BAC=86°,
∴∠EAC=(1/2)∠BAC=(1/2)×86°=43°。
∵AD⊥BC,∠C=32°,
∴∠DAC=90° - ∠C=90° - 32°=58°,
∴∠DAE=∠DAC - ∠EAC=58° - 43°=15°。
(2)证明:
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°。在Rt△ABD中,AB=15,AD=12,根据勾股定理,得BD=√(AB² - AD²)=√(15² - 12²)=9。在Rt△ACD中,AC=20,AD=12,根据勾股定理,得CD=√(AC² - AD²)=√(20² - 12²)=16,
∴BC=BD+DC=9+16=25。
∵AB²+AC²=15²+20²=625,BC²=625,
∴AB²+AC²=BC²,
∴∠BAC=90°。