《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

3 徐老师给爱思考的小敏和小洁提出这样一个问题：如图 1,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 2\angle C$,$AD是\angle BAC$的平分线.求证：$AB + BD = AC$.
小敏的证明思路：如图 2,在$AC上截取AE = AB$,连接$DE$.
小洁的证明思路：如图 3,延长$CB至点E$,使$BE = AB$,连接$AE$.
请你任意选择一种思路完成证明.

答案：
3 解:小敏的证明思路:
如图1,在AC上截取AE=AB,连接DE.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠EAD.
在△ABD和△AED中,AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴BD=DE,∠ABD=∠AED.
∵∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C,
∴∠EDC=∠C,
∴DE=EC,
∴AB+BD=AE+DE=AE+CE=AC.

小洁的证明思路:
如图2,延长CB至点E,使BE=AB,连接AE,则∠E=∠BAE.
∵∠ABC=∠E+∠BAE,
∴∠ABC=2∠E.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠E=∠C,
∴AE=AC.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠DAC.
∵∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE,∠BAE=∠E=∠C,
∴∠ADE=∠DAE,
∴AE=DE=AC,
∴AB+BD=BE+BD=DE=AC.

4 如图,$\triangle ABC$的面积为 16,$AD平分\angle BAC$,且$AD\perp BD于点D$,求$\triangle ADC$的面积.

答案：
4 解:如图,延长BD交AC于点E.
∵AD平分∠BAE,AD⊥BD,
∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE.
在△ABD和△AED中,
∠BAD=∠EAD,AD=AD,∠ADB=∠ADE,
∴△ABD≌△AED(ASA),
∴BD=DE,
∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,
∴S△ADC=S△ADE+S△CDE=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×16=8.

5 [2025 北京期中]如图,$AB = AC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$\angle 1 = \angle 2$,$CE\perp BD$,交$BD的延长线于点E$.
(1)求证：$\angle 1 = \angle ECA$.
(2)猜想线段$BD与CE$之间的数量关系,并证明.

答案：
5
(1)证明:
∵∠BAC=90°,CE⊥BD,
∴∠BAC=∠BEC=90°.
∵∠BDA=∠CDE,
∴∠2=∠ECA.
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠ECA.
(2)解:BD=2CE.证明如下:
如图,延长BA,CE交于点F.
在△BEF和△BEC中,
∠BEF=∠BEC,BE=BE,∠2=∠1,
∴△BEF≌△BEC(ASA),
∴CE=FE=$\frac{1}{2}$CF.
在△ABD和△ACF中,
∠2=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF,
∴△ABD≌△ACF(ASA),
∴BD=CF.
∵CE=EF=$\frac{1}{2}$CF,
∴BD=2CE.