《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

[问题1](1)如图1,将$Rt\triangle ABC$放置在边长为1的正方形网格中,则$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$之间的关系为S₁=S₂+S₃.
(2)如图4是由图1中的两个小正方形分别向外作直角三角形,再以所得的直角三角形的直角边为边分别向外作正方形,图5是重复上述步骤若干次后得到的勾股树. 已知图1中的$S_{1}= 13$,求10次操作后图形中所有正方形的面积.根据题意得,题图1中所有正方形的面积为13+13=13×2=26.重复题中步骤1次,得题图4中所有正方形的面积为13+13+13=13×3=39.……重复题中步骤n次,得图形中所有正方形的面积为13×(n+2).当n=10时,图形中所有正方形的面积为13×(10+2)=156.

[问题2](1)如图2,若$BC = a$,$AC = b$,$AB = c$,则$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$之间的关系还成立吗？并说明理由.成立.理由如下:根据圆的面积公式可得S₁=1/2π×(1/2AB)²=π/8AB²,S₂=1/2π×(1/2AC)²=π/8AC²,S₃=1/2π×(1/2BC)²=π/8BC²,∴S₂+S₃=π/8(AC²+BC²)=π/8AB²,∴S₁=S₂+S₃.
(2)如图6,若阴影部分的面积为$8$,求$\triangle ABC$的面积.根据(1)可得,以AB为直径的半圆面积为π/8AB²,以AC为直径的半圆面积为π/8AC²,以BC为直径的半圆面积为π/8BC²,∵题图阴影部分的面积为8,∴π/8AC²+π/8BC²-(π/8AB²-S△ABC)=8,∴π/8(AC²+BC²-AB²)+S△ABC=8.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据勾股定理,得AB²=AC²+BC²,∴AC²+BC²-AB²=0,∴S△ABC=8.

[问题3]在华东师大版八上教材第141页第2题的探究中,发现以$Rt\triangle ABC$的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形时,也满足$S_{1}= S_{2}+S_{3}$. 若图3中的$S_{3}= 16$,$S_{1}= 25$,求$AC$的长.根据题意,得S△ACH=S₂=S₁-S₃=25-16=9,∴1/2AH·HC=1/2AH²=9,∴AH²=18.∵CH=AH,∴AC²=AH²+CH²=18+18=36,∴AC的长为6.

答案： 解:[问题1]
(1)S₁=S₂+S₃
(2)根据题意得,题图1中所有正方形的面积为13+13=13×2=26.重复题中步骤1次,得题图4中所有正方形的面积为13+13+13=13×3=39.……重复题中步骤n次,得图形中所有正方形的面积为13×(n+2).当n=10时,图形中所有正方形的面积为13×(10+2)=156.[问题2]
(1)成立.理由如下:根据圆的面积公式可得S₁=1/2π×(1/2AB)²=π/8AB²,S₂=1/2π×(1/2AC)²=π/8AC²,S₃=1/2π×(1/2BC)²=π/8BC²,
∴S₂+S₃=π/8(AC²+BC²)=π/8AB²,
∴S₁=S₂+S₃.
(2)根据
(1)可得,以AB为直径的半圆面积为π/8AB²,以AC为直径的半圆面积为π/8AC²,以BC为直径的半圆面积为π/8BC²,
∵题图阴影部分的面积为8,
∴π/8AC²+π/8BC²-(π/8AB²-S△ABC)=8,
∴π/8(AC²+BC²-AB²)+S△ABC=8.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据勾股定理,得AB²=AC²+BC²,
∴AC²+BC²-AB²=0,
∴S△ABC=8.[问题3]根据题意,得S△ACH=S₂=S₁-S₃=25-16=9,
∴1/2AH·HC=1/2AH²=9,
∴AH²=18.
∵CH=AH,
∴AC²=AH²+CH²=18+18=36,
∴AC的长为6.