《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

已知 $a + b = 4$,$ab = 3$,求 $a^2 + b^2$ 的值.
解：$\because a + b = 4$,$\therefore (a + b)^2 = 4^2$,
即 $a^2 + 2ab + b^2 = 16$.
$\because ab = 3$,$\therefore a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 10$.
参考上述过程,解答下列各题.
1 若 $x - y = -3$,$xy = -2$,求 $x^2 + y^2$ 和 $(x + y)^2$ 的值.
2 若 $m + n - p = -10$,$(m - p)n = -12$,求 $(m - p)^2 + n^2$ 的值.
3 若 $a + \frac{1}{a} = 5$,求 $a^2 + \frac{1}{a^2}$ 的值.
4 若 $z$ 满足 $(z - 4)(z - 9) = 6$,求 $(z - 4)^2 + (z - 9)^2$ 的值.

答案： 一题多变
1 解:$\because x-y=-3,xy=-2$,$\therefore x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy=(-3)^{2}+2× (-2)=9-4=5$,$\therefore (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=5-4=1$.
2 解:$\because m+n-p=-10,(m-p)n=-12$,$\therefore (m-p)^{2}+n^{2}=(m-p+n)^{2}-2(m-p)n=(-10)^{2}-2× (-12)=100+24=124$.
3 解:$\because a+\frac{1}{a}=5$,$\therefore (a+\frac{1}{a})^{2}=5^{2}$,$\therefore a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}=25$,$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=23$.
4 解:$\because [(z-4)-(z-9)]^{2}=(z-4)^{2}-2(z-4)(z-9)+(z-9)^{2}=5^{2},(z-4)(z-9)=6$,$\therefore (z-4)^{2}+(z-9)^{2}=5^{2}+2× 6=37$.

1 新趋势·代数推理 已知一个长方形的长为 $a$ cm,宽为 $b$ cm,其中 $a ＞ b$,将原长方形的长和宽各增加 $3$ cm,得到的新长方形的面积记为 $S_{1}$；将原长方形的长和宽各减少 $2$ cm,得到的新长方形的面积记为 $S_{2}$。若 $a$,$b$ 均为正整数,证明：$S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的差是 $5$ 的倍数。

答案： 解:根据题意得,
S₁=(a+3)(b+3)=ab+3a+3b+9,
S₂=(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4,
∴S₁-S₂=ab+3a+3b+9-(ab-2a-2b+4)=5a+5b+5=5(a+b+1).
∵a,b均为正整数,
∴5(a+b+1)是5的倍数,即S₁与S₂的差是5的倍数.

2 新趋势·代数推理 教材 P44 习题 T6 变式 任意三个连续偶数的平方和是 $4$ 的倍数。
(1)$2^{2}+4^{2}+6^{2}$ 的结果是 $4$ 的几倍？
(2)设三个连续偶数的中间一个为 $2n$($n$ 是整数),写出它们的平方和,并说明是 $4$ 的倍数。
(3)设三个连续奇数的中间一个为 $2n + 1$($n$ 是整数),写出它们的平方和,它是 $12$ 的倍数吗？若是,说明理由；若不是,写出被 $12$ 除的余数是多少。

答案：
(1)
∵2²+4²+6²=4+16+36=56,56÷4=14,
∴2²+4²+6²的结果是4的14倍.
(2)这三个连续偶数分别为2n-2,2n,2n+2(其中n是整数),
则(2n-2)²+(2n)²+(2n+2)²=4n²-8n+4+4n²+4n²+8n+4=12n²+8=4(3n²+2),
∵n是整数,
∴4(3n²+2)是4的倍数.
∴三个连续偶数的平方和是4的倍数.
(3)三个连续奇数的平方和不是12的倍数,它被12除的余数是11.理由如下:
这三个连续奇数分别为2n-1,2n+1,2n+3(其中n是整数),
则(2n-1)²+(2n+1)²+(2n+3)²
=4n²-4n+1+4n²+4n+1+4n²+12n+9
=12n²+12n+11=12(n²+n)+11.
∵n是整数,
∴12(n²+n)+11不是12的倍数,
∴三个连续奇数的平方和不是12的倍数,被12除的余数是11.