《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

8 [2025 唐山期末]下列所作 OP 平分$\angle AOB$的方案,正确的是(C)




A.只有甲对
B.只有乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对

答案： C 甲的方案中,
∵PB⊥OB,PA⊥OA,BP=AP,
∴OP 平分∠AOB(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上).乙的方案中,
∵OE=OF,
∴△OEF 是等腰三角形.
∵PE=PF,
∴OP 平分∠AOB(“等腰三角形的三线合一”).

9 [教材 P107 练习 T1 变式]如图,直线$l_1,l_2,l_3$表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)

A.一处
B.两处
C.三处
D.四处

答案： D 因为角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上,所以可供选择的地址可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处.如图,可供选择的地址有 P₁,P₂,P₃,P₄,共四处.

10 如图,$\triangle ABC的周长是60$cm,面积是$600$cm^2,$BP,CP,AP是\triangle ABC$的角平分线,求点 P 到 BC 的距离.

答案： 解:
∵BP,CP,AP是△ABC的角平分线,
∴点 P 到 AB,BC,AC 的距离相等.设点 P 到 AB,BC,AC 的距离为 h.
∵S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP,
∴600=1/2AB·h+1/2BC·h+1/2AC·h=1/2h(AB+BC+AC).
∵△ABC 的周长为 60 cm,
∴AB+BC+AC=60 cm,
∴600=1/2h×60,解得 h=20,
∴点 P 到 BC 的距离是 20 cm.

11 [2025 十堰期末]如图,$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$,E 是 BC 的中点,DE 平分$\angle ADC$. 求证:(1)AE 是$\angle DAB$的平分线;(2)$AE \perp DE$;(3)$AB + CD = AD$.

答案： 证明:
(1)如图,过点 E 作 EF⊥DA 于点 F.
∵∠C=90°,DE 平分∠ADC,EF⊥DA,
∴CE=EF.
∵E 是 BC 的中点,
∴BE=CE,
∴BE=EF.
∵∠B=90°,EF⊥AD,
∴AE 平分∠BAD,即 AE 是∠DAB 的平分线.
(2)
∵DE 平分∠ADC,AE 平分∠DAB,
∴∠ADE=1/2∠ADC,∠DAE=1/2∠DAB.
∵∠B=∠C=90°,
∴∠B+∠C=180°,
∴AB//CD,
∴∠ADC+∠DAB=180°,
∴∠ADE+∠DAE=1/2∠ADC+1/2∠DAB=1/2(∠ADC+∠DAB)=90°,
∴∠AED=180°-(∠ADE+∠DAE)=90°,
∴AE⊥DE.
(3)在 Rt△DFE 和 Rt△DCE 中,
∵DE=DE,EF=EC,
∴Rt△DFE≌Rt△DCE(HL),
∴DF=DC.同理可得,AF=AB.
∵AD=AF+DF,
∴AD=AB+CD,即 AB+CD=AD.

12 [推理能力][2024 保定期末]已知$\angle MAN$,AP 平分$\angle MAN$,定点 C 在射线 AP 上,$\angle DCB$与射线 AN 交于点 B,与直线 AM 交于点 D,且$\angle MAN + \angle DCB = 180^{\circ}$.
【证明】
(1)如图 1,当点 D 在射线 AM 上,且$CB \perp AN$时,AB 的长为 5. 求证:①$CD = CB$;②$AB + AD = 10$.
【探究】
(2)如图 2,当点 D 在射线 AM 上,且 CB 与 AN 不垂直时,(1)中的结论②是否仍然成立? 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展】
(3)如图 3,当点 D 在射线 AM 的反向延长线上时,(1)中的结论②是否仍然成立? 若成立,请直接回答;若不成立,你又能得出什么结论? 请说明理由.
]

答案：
(1)证明:①在四边形 ABCD 中,
∵∠MAN+∠DCB=180°,
∴∠CDA+∠CBA=360°-180°=180°.
∵CB⊥AN,
∴∠CBA=90°,
∴∠CDA=90°.
∵AC 平分∠MAN,
∴CD=CB.
②在 Rt△ADC 和 Rt△ABC 中,AC=AC,CD=CB,
∴Rt△ADC≌Rt△ABC(HL),
∴AD=AB=5,
∴AB+AD=10.
(2)解:
(1)中的结论②仍然成立.证明如下:
如图 1,过点 C 分别作 AM 与 AN 的垂线,垂足分别为 E,F,
∴∠CED=∠CFB=90°.与
(1)同理可得 CE=CF,AF=AE=5.
∵∠MAN+∠ECF=180°,∠MAN+∠DCB=180°,
∴∠ECF=∠DCB,
∴∠ECF-∠DCF=∠DCB-∠DCF,即∠ECD=∠FCB.
在△CED 和△CFB 中,∠CED=∠CFB,CE=CF,∠ECD=∠FCB,
∴△CED≌△CFB(ASA),
∴DE=BF,
∴AB+AD=AF+BF+AD=AF+DE+AD=AF+AE=10.
(3)解:
(1)中的结论②不成立,此时 AB - AD = 10.理由如下:
如图 2,由
(2)知∠CED=∠CFB=90°,CE=CF,AF=AE=5.
∵∠MAN+∠ECF=180°,∠MAN+∠DCB=180°,
∴∠ECF=∠DCB,
∴∠ECF-∠DCF=∠DCB-∠DCF,即∠ECD=∠FCB.
在△CED 和△CFB 中,∠CED=∠CFB,CE=CF,∠ECD=∠FCB,
∴△CED≌△CFB(ASA),
∴DE=BF,
∴AB - AD=AF+BF-(DE - AE)=AF+BF - DE+AE=AF+BF - BF+AE=AF+AE=10.