《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

7 新趋势·数学文化 [2025 洛阳第二外国语学校月考]中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中,给出了证明三角形面积公式的出入相补法. 如图,在△ABC 中,分别取 AB,AC 的中点 D,E,连接 DE,过点 A 作 AF ⊥ DE 于点 F,将△ABC 分割后拼接成长方形 BCHG. 若 DE = 5,AF = 4,则△ABC 的面积为______.

答案：
40 解题思路：先证明△ADF≌△BDG(AAS)，△AEF≌△CEH(AAS)；再根据△ABC和长方形BCHG的面积相等即可求解。
∠AFD=∠BGD，∠ADF=∠BDG，AD=BD ，△ADF≌△BDG(AAS) ，S△ADF=S△BDG，DF=DG，AF=BG
∠AFE=∠CHE，∠AEF=∠CEH，AE=CE ，△AEF≌△CEH(AAS) ，S△AEF=S△CEH，EF=EH，AF=CH
S△ABC=S长方形BCHG=GH·CH=2DE·AF=2×5×4=40

8 北师七下教材 P107 习题 T7 如图,C 是线段 AB 的中点,∠D = ∠E,∠A = ∠B. 请在图中找出两对全等三角形,并说明理由.

答案： 解：△ACE≌△BCD，△CDF≌△CEG。理由如下：
∵C是线段AB的中点，
∴AC=BC(中点的定义)。
在△ACE和△BCD中，
∠E=∠D(已知)，∠A=∠B(已知)，AC=BC(已证)，
∴△ACE≌△BCD(AAS)。
∴CE=CD(全等三角形的对应边相等)。
在△CDF和△CEG中，
∠DCF=∠ECG(公共角)，CD=CE(已证)，∠D=∠E(已知)，
∴△CDF≌△CEG(ASA)。

9 跨学科·物理 [2025 重庆期中]如图 1,在一个支架的横杆点 O 处,用一根细绳悬挂一个小球 A,小球 A 可以自由摆动,用该装置可作发声物体振动的实验(OA 表示小球静止时的位置). 当小明用发声物体靠近小球时,小球从 OA 摆到 OB 的位置,如图 2,当小球摆到 OC 的位置时,OB 与 OC 恰好垂直(图中的点 A,B,O,C 在同一平面内),过点 B 作 BD ⊥ OA 于点 D,过点 C 作 CE ⊥ OA 于点 E. 若 BD = 7 cm,OA = 13 cm,求小球从 A 处摆到 C 处上升的高度 AE.

答案： 解：根据题意，得OA=OB=OC。
∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°(垂直的定义)。
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴∠BDO=∠OEC=90°(垂直的定义)，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠B=∠COE(等角的余角相等)。
在△BOD和△OCE中，
∠B=∠COE(已证)，∠BDO=∠OEC(已证)，OB=CO(已知)，
∴△BOD≌△OCE(AAS)，
∴OE=BD=7cm(全等三角形的对应边相等)，
∴AE=OA - OE=13 - 7=6(cm)。

10 教材 P77 例 4 变式 推理能力 [2025 周口期中]
【教材回顾】
下面方框中的内容是华东师大版教材八年级上册第 77 页例 4.
|例 4 如图,在△ABC 中,D 是边 BC 的中点,过点 C 作直线 CE,使 CE // AB,交 AD 的延长线于点 E. 求证：AD = ED.||

【迁移探究】
为探索直角三角形的性质,李老师将上述例题进行拓展,设计了下面的问题.
(1)如图 1,将例 4 中的△ABC 改为 Rt△ABC,∠BAC = 90°,其他条件不变,猜想 AD 与 BC 之间的数量关系,并说明理由.
【拓展应用】
(2)如图 2,在△ABC 中,AB = 6,AC = 3,求 BC 边上的中线 AD 的取值范围.

答案：
解：
(1)BC=2AD。理由如下：
∵CE//AB，
∴∠ECD=∠B，∠BAD=∠E，∠ECA=180° - ∠BAC=90°。
∵D是边BC的中点，
∴CD=BD。
在△ECD和△ABD中，
∠ECD=∠B，∠E=∠BAD，CD=BD，
∴△ECD≌△ABD(AAS)，
∴EC=AB，ED=AD。
在△ABC和△CEA中，
AB=CE，∠BAC=∠ECA，AC=CA，
∴△ABC≌△CEA(SAS)，
∴BC=EA。
∵AD=ED，
∴BC=AE=2AD。
(2)如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE=3。
在△ABE中，AB - BE＜AE＜AB+BE，
∴6 - 3＜2AD＜6+3，
∴3/2＜AD＜9/2。