《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 [2025鞍山期中]等腰三角形的一个内角是70°,则它的底角是70°或55°.

答案： 70°或55° ①当顶角为70°时，底角为$\frac{180^{\circ}-70^{\circ}}{2}=55^{\circ}$；②底角为70°.

2 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形ABC的周长为20,其中一边长为8,则它的“优美比”为$\frac{4}{3}$或$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{4}{3}$或$\frac{1}{2}$ ①当8为腰长时，$\triangle ABC$的底边长为20 - 8 - 8 = 4，$\therefore$该等腰三角形的“优美比”为$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.②当8为底边长时，$\triangle ABC$的腰长为$\frac{1}{2}×(20 - 8)=6$，$\therefore$该等腰三角形的“优美比”为$\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$.

3 [2025无锡南长实验学校月考]如图,在正方形网格中,A,B两点都在方格的顶点上,若点C也在方格的顶点上,且△ABC是等腰三角形,则这样的点C共有____个.
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答案：
3 ①当AB为腰时，如图1，点C有2个；②当AB为底边时，如图2，点C有1个.综上，点C共有3个.

4 如图,在等腰三角形ABC中,AB = AC,若BE是△ABC的中线,且BE把△ABC的周长分为10和18两部分,求AB的长.
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答案： 解：设$AB = AC = 2x$，$BC = y$.
∵$BE$是$\triangle ABC$的中线，$\therefore AE = EC = x$.①若$AB + AE$的长为10，则$2x + x = 10$，解得$x = \frac{10}{3}$.由$BC + CE = 18$，得$x + y = 18$，即$\frac{10}{3}+y = 18$，解得$y = \frac{44}{3}$，此时不能组成三角形，应舍去.②若$AB + AE$的长为18，则$2x + x = 18$，解得$x = 6$.由$BC + CE = 10$，得$x + y = 10$，即$6 + y = 10$，解得$y = 4$，此时能组成三角形，$\therefore AB$的长为12.

5 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,求该等腰三角形底角的度数.

答案：
解：①如图1，当等腰三角形为锐角三角形时，$AB = AC$，$BD\perp AC$于点D.
∵$\angle ABD = 40^{\circ}$，$\therefore \angle A = 90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，$\therefore \angle ACB=\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=65^{\circ}$. 　　 ②如图2，当等腰三角形为钝角三角形时，$AB = AC$，$BD\perp AC$交$CA$的延长线于点D.
∵$\angle ABD = 40^{\circ}$，$\therefore \angle BAD = 90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$.
∵$\angle ABC = \angle ACB$，$\angle ABC + \angle ACB = \angle BAD = 50^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = \angle ACB=\frac{1}{2}\angle BAD = 25^{\circ}$.综上，该等腰三角形的底角为65°或25°.

6 已知一个等腰三角形一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为6 cm和15 cm,求该等腰三角形的底边长.

答案：
解：如图，$\triangle ABC$是等腰三角形，$BD$是腰$AC$上的中线，$\therefore AB = AC$，$AD = CD$，$AB = 2AD = 2CD$.①当$AB + AD = 6\ cm$，$BC + CD = 15\ cm$时，$\begin{cases}2AD + AD = 6\\BC + AD = 15\end{cases}$，解得$\begin{cases}AD = 2\\BC = 13\end{cases}$，此时该等腰三角形的三边长分别为4 cm，4 cm，13 cm，与三角形的任意两边之和大于第三边矛盾，$\therefore$不成立(舍去).②当$AB + AD = 15\ cm$，$BC + CD = 6\ cm$时，$\begin{cases}2AD + AD = 15\\BC + AD = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}AD = 5\\BC = 1\end{cases}$，此时该等腰三角形的三边长分别为10 cm，10 cm，1 cm.综上，该等腰三角形的底边长为1 cm.

7 新趋势·过程性学习[2025廊坊期中]如图,在△ABC中,AB = AC,∠ABC = 70°,分别以点A,B为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点P,求∠APC的度数.嘉嘉求的结果是∠APC = 40°,淇淇说嘉嘉的解答正确,但不全面,∠APC还有另一个不同的度数.请你写出嘉嘉的推理过程,并求出∠APC的另一个不同的度数.(提示：可按照题中描述用尺规画图后求解)
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答案：
解：如图，在$\triangle ABC$中，
∵$AB = AC$，$\therefore \angle ACB = \angle ABC = 70^{\circ}$，$\therefore \angle BAC = 40^{\circ}$.①当点P在AB的左侧时，$AB = AP = BP$，$\therefore \triangle ABP$为等边三角形，$\therefore \angle PAB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle PAC = \angle PAB + \angle BAC = 100^{\circ}$.
∵$AB = AC$，$\therefore AP = AC$，$\therefore \triangle APC$是等腰三角形，$\therefore \angle APC = \frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle PAC)=40^{\circ}$.②当点P在AB的右侧时，同理$\triangle ABP'$是等边三角形，$\therefore \angle BAP' = 60^{\circ}$，$\therefore \angle CAP' = \angle BAP' - \angle BAC = 60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}$.
∵$AP' = AB = AC$，$\therefore \triangle ACP'$是等腰三角形，$\therefore \angle CP'A = \frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAP')=80^{\circ}$，$\therefore \angle APC$的另一个度数是80°.