《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 [2025 漳州期中]【模型呈现】
某数学兴趣小组从如图 1 所示的赵爽弦图中,提出两个“一线三等角模型”(如图 2,图 3).
【问题发现】
(1) 如图 2,$\triangle ABC$ 是等腰直角三角形,且 $\angle ACB = 90^{\circ}$,过点 $A$ 作 $AE \perp EF$ 于点 $E$,过点 $B$ 作 $BF \perp EF$ 于点 $F$,求证：$\triangle AEC \cong \triangle CFB$.
【问题提出】
(2) 如图 3,在(1)的基础上,改变直线 $EF$ 的位置,求 $EF$,$AE$,$BF$ 之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)证明:
∵△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴AC=BC,∠ECA+∠FCB=90°.
∵AE⊥EF,BF⊥EF,
∴∠AEF=∠BFC=90°,
∴∠ECA+∠EAC=90°,
∴∠FCB=∠EAC.在△AEC 和△CFB 中,∠AEC=∠CFB,∠EAC=∠FCB,AC=CB,
∴△AEC≌△CFB(AAS).
(2)解:EF=BF-AE.理由如下:
∵∠AEC=∠CFB=90°,∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠CAE=∠BCF.在△ACE 和△CBF 中,∠AEC=∠CFB,∠EAC=∠FCB,AC=CB,
∴△CAE≌△BCF(AAS),
∴CE=BF,AE=CF,
∴EF=CE-CF=BF-AE,即 EF=BF-AE.

2 [2025 廊坊期中]如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC = 2$,$\angle B = \angle C = 40^{\circ}$,点 $D$ 在线段 $BC$ 上运动(点 $D$ 不与点 $B$,$C$ 重合),连接 $AD$,过点 $D$ 作 $\angle ADE = 40^{\circ}$,$DE$ 交 $AC$ 于点 $E$.
(1) 当 $\angle BDA = 115^{\circ}$ 时,$\angle EDC = $25$^{\circ}$,$\angle DEC = $115$^{\circ}$.
(2) 当点 $D$ 从点 $B$ 向点 $C$ 运动时,$\angle BDA$ 逐渐变小(填“大”或“小”),$\angle BDA$ 的取值范围是40°＜∠BDA＜140°.
(3) 若 $DC = 2$,求证：$\triangle ABD \cong \triangle DCE$.
证明:
∵∠C=40°,
∴∠DEC+∠EDC=140°.
∵∠ADE=40°,
∴∠ADB+∠EDC=140°,
∴∠ADB=∠DEC.在△ABD 和△DCE 中,∠ADB=∠DEC,∠B=∠C,AB=DC=2,
∴△ABD≌△DCE(AAS).
(4) 在点 $D$ 运动的过程中,$\triangle ADE$ 可以是等腰三角形吗？若可以,求 $\angle BDA$ 的度数；若不可以,请说明理由.
解:可以.
∵∠ADE=40°,
∴∠EDC=180°-∠BDA-40°=140°-∠BDA,
∴∠AED=∠C+∠EDC=40°+140°-∠BDA=180°-∠BDA.①当 DA=DE 时,∠AED=∠EAD,
∴180°-∠BDA=$\frac{180°-40°}{2}$,解得∠BDA=110°.②当 DE=AE 时,∠AED=180°-2×40°=100°,
∴180°-∠BDA=100°,解得∠BDA=80°.③
∵点 D 不与点 B,C 重合,
∴AD≠AE.综上,当△ADE 是等腰三角形时,∠BDA=110°或 80°.

答案：
(1)解:25 115
∵∠BDA=115°,
∴∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-115°-40°=25°,
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-25°-40°=115°.
(2)解:小 40°＜∠BDA＜140°
(3)证明:
∵∠C=40°,
∴∠DEC+∠EDC=140°.
∵∠ADE=40°,
∴∠ADB+∠EDC=140°,
∴∠ADB=∠DEC.在△ABD 和△DCE 中,∠ADB=∠DEC,∠B=∠C,AB=DC=2,
∴△ABD≌△DCE(AAS).
(4)解:可以.
∵∠ADE=40°,
∴∠EDC=180°-∠BDA-40°=140°-∠BDA,
∴∠AED=∠C+∠EDC=40°+140°-∠BDA=180°-∠BDA.①当 DA=DE 时,∠AED=∠EAD,
∴180°-∠BDA=$\frac{180°-40°}{2}$,解得∠BDA=110°.②当 DE=AE 时,∠AED=180°-2×40°=100°,
∴180°-∠BDA=100°,解得∠BDA=80°.③
∵点 D 不与点 B,C 重合,
∴AD≠AE.综上,当△ADE 是等腰三角形时,∠BDA=110°或 80°.