《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

10 由公式$(x + a)(x + b)= x^{2}+(a + b)x + ab$,得$x^{2}+(a + b)x + ab= (x + a)(x + b)$. 例如：$x^{2}+7x + 12$,由$3 + 4 = 7$,$3×4 = 12$,得$x^{2}+7x + 12可分解为(x + 3)(x + 4)$. 利用上述方法可把$x^{2}-x - 12$因式分解为(x-4)(x+3),把$2x^{2}-18x + 40$因式分解为2(x-4)(x-5).

答案： (x-4)(x+3) 2(x-4)(x-5)

11 [2025 阜阳期末]观察等式：$3^{2}-1^{2}= 8×1$,$5^{2}-3^{2}= 8×2$,$7^{2}-5^{2}= 8×3$,$9^{2}-7^{2}= 8×4$,……
(1)$19^{2}-17^{2}=$8×9.(写成两个数相乘的形式)
(2)根据上面的规律归纳出一个一般的结论.(用含$n$的等式表示,$n$为正整数)
$(2n+1)²-(2n-1)²=8n$
(3)请运用有关知识,推理说明该结论正确.
$(2n+1)²-(2n-1)²=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n$

答案： 解:
(1)8×9
(2)(2n+1)²-(2n-1)²=8n.
(3)(2n+1)²-(2n-1)²=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.

12 [2025 新乡期末]分解因式$x^{2}-4y^{2}-2x + 4y$,细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生新的公因式,再提取公因式就可以完成因式分解了,具体过程如下：$x^{2}-4y^{2}-2x + 4y= (x + 2y)(x - 2y)-2(x - 2y)= (x - 2y)(x + 2y - 2)$.
上述分解因式的方法叫做分组分解法,请利用这种方法,解答下列问题.
(1)分解因式：$m^{2}-n^{2}+4n - 4m$.
(2)分解因式：$a^{2}+6a + 9 - 4b^{2}$.
(3)$\triangle ABC的三边a$,$b$,$c满足a^{2}+2b^{2}+c^{2}= 2ab + 2bc$,判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由.

答案： 解:
(1)m²-n²+4n-4m=(m+n)(m-n)-4(m-n)=(m-n)(m+n-4).
(2)a²+6a+9-4b²=(a+3)²-4b²=(a+3+2b)(a+3-2b).
(3)△ABC是等边三角形.理由如下:
∵a²+2b²+c²=2ab+2bc,
∴a²+2b²+c²-2ab-2bc=0,
∴a²-2ab+b²+b²-2bc+c²=0,
∴(a-b)²+(b-c)²=0,
∴a-b=0且b-c=0,
∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.

13 [教材 P52 习题 T7 变式]运算能力[2025 遵义期末]形如$a^{2}\pm2ab + b^{2}$的式子叫做完全平方式. 若一个多项式不是完全平方式,常进行如下变形：先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变. 利用该方法不仅可以将多项式进行因式分解,还能解决一些求多项式最大值或最小值等问题.
例 1：分解因式：$x^{2}+2x - 3$.
解：$x^{2}+2x - 3= (x^{2}+2x + 1)-3 - 1= (x + 1)^{2}-4= (x + 1 + 2)(x + 1 - 2)= (x + 3)(x - 1)$.
例 2：求多项式$2x^{2}+4x - 3$的最小值.
解：$2x^{2}+4x - 3 = 2(x^{2}+2x)-3 = 2(x^{2}+2x + 1)-3 - 2 = 2(x + 1)^{2}-5$,
$\because 2(x + 1)^{2}\geq0$,$\therefore 2(x + 1)^{2}-5\geq -5$.
$\therefore当x = -1$时,$2x^{2}+4x - 3$有最小值,是$-5$.
(1)按照上述方法,分解因式：$x^{2}-4x + 3$.
(2)若多项式$3x^{2}+6x + k的最小值为4$,求$k$的值.
(3)若$-2a^{2}+7a + 2b = 12$,求$a - 2b$的最值.

答案： 解:
(1)x²-4x+3=x²-4x+4-1=(x-2)²-1=(x-2+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3).
(2)3x²+6x+k=3(x²+2x+1-1)+k=3(x²+2x+1)+k-3=3(x+1)²+k-3,
∵(x+1)²≥0,
∴3(x+1)²≥0.
∴3(x+1)²+k-3≥k-3.
∵原多项式的最小值为4,
∴k-3=4,
∴k=7.
(3)-2a²+7a+2b=12可变形为-2(a²-4a+4)-a+2b-4=0,
∴-2(a-2)²-a+2b-4=0,
∴-2(a-2)²-4=a-2b.
∵(a-2)²≥0,
∴-2(a-2)²≤0,
∴-2(a-2)²-4≤-4,
∴a-2b≤-4,
∴a-2b的最大值为-4.