《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 如图,有一块直角三角形纸片,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 12\,cm$,$BC = 9\,cm$,将斜边$AB$翻折,使点$B落在直角边AC延长线上的点E$处,折痕为$AD$,求$CE$的长.

答案： 解:在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=9cm,
∴AC²+BC²=AB²,
∴AB=15cm.由折叠的性质得AE=AB,
∴CE=AE−AC=AB−AC=3cm.

2 [2025烟台蓬莱区期中]如图,三角形纸片$ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = 2$,$AC = 3$.沿过点$A$的直线将纸片折叠,使点$B落在边BC上的点D$处；再折叠纸片,使点$C与点D$重合,若折痕与$AC的交点为E$,求$AE$的长.

答案： 解:根据折叠的性质,得AD=AB=2,∠B=∠ADB,CE=DE,∠C=∠CDE.
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠C=90°,
∴∠ADB+∠CDE=90°,
∴∠ADE=90°,
∴AD²+DE²=AE².设AE=x,则CE=DE=3−x,
∴2²+(3−x)²=x²,解得x=$\frac{13}{6}$,
∴AE=$\frac{13}{6}$.

3 如图是长方形纸片$ABCD$,已知$AB = 8$,$BC = 12$,现将纸片折叠,使点$D落在BC边上的点M$处,且$CM = 4$,折痕为$EF$,求$AE$的长.

答案：
解:如图,过点E作EG⊥BC于点G.设AE=x,
∵AB=8,BC=12,CM=4,
∴在Rt△EGM中,EM²=EG²+MG²,EG=AB=8,EM=ED=12−x,MG=12−4−x,
∴(12−x)²=64+(12−4−x)²,
∴x=2,即AE=2.

4 如图,把一张长方形纸片$ABCD$折叠起来,使点$C与点A$重合,若$BC = 8$,$AB = 4$,求折叠后$\triangle AEF$的面积.

答案： 解:设FC=x,则BF=8−x.在Rt△ABF中,AB²+BF²=AF²,
∴4²+(8−x)²=x²,解得x=5.
∵AD//BC,
∴∠CFE=∠AEF.由折叠的性质可知,∠AFE=∠EFC,AF=CF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF=CF=5,
∴△AEF的面积为$\frac{1}{2}$×5×4=10.

5 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,$D$,$E分别在AC$,$BC$上,且$DE // AB$.将$\triangle ABC沿DE$所在直线折叠,使$C点落在斜边AB上的F$点处,求$AF$的长.

答案：
解:如图,连接CF,根据题意,得CF⊥DE.
∵DE//AB,
∴CF⊥AB.
∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=5.
∵$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CF,
∴CF=2.4,
∴AF²=AC²−CF²=3²−2.4²=1.8²,
∴AF=1.8.

6 [教材P132习题T8变式]如图,在长方形纸片$ABCD$中,$AB = 6$,$BC = 9$,$M是BC$上的点,且$CM = 3$,将长方形纸片$ABCD沿过点M$的直线折叠,使点$D落在AB边上的点P$处,点$C落在点C'$处,折痕为$MN$,求线段$AN$的长.

答案：
解:如图,连接PM.
∵BC=9,CM=3,
∴BM=6.由折叠的性质,得CD=PC'=AB=6,∠C=∠C'=∠PBM=90°,C'M=CM=3.在Rt△PBM和Rt△MC'P中,PM=MP,BM=C'P,
∴Rt△PBM≌Rt△MC'P(HL),
∴PB=C'M=3,
∴PA=3.设AN=x,则ND=PN=9−x.在Rt△APN中,AN²+AP²=PN²,
∴x²+3²=(9−x)²,解得x=4,
∴AN=4.