《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

在等腰三角形 $ABC$ 纸片中,$AB = AC$。
【基础设问】
(1) 命题“等腰三角形的两个腰上的高相等”是____(填“真”或“假”)命题,其逆命题是____,该逆命题是____(填“真”或“假”)命题。
(2) 如图,若点 $D$,$E$ 分别在边 $AB$,$AC$ 上,连接 $BE$,$CD$。

① 若 $\angle DCB = \angle EBC$,求证：$CD = BE$。
② 若 $BD = CE$,求证：$\angle DCB = \angle EBC$。
【能力设问】
(3) 亮亮想将该等腰三角形 $ABC$ 纸片剪成三张小纸片,使得每张小纸片都是等腰三角形,且不能有剩余。他解决这一问题的思路如下：
根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”,可分别作 $AB$,$AC$ 的垂直平分线交于点 $P$,连接 $PA$,$PB$,$PC$,沿线段 $PA$,$PB$,$PC$ 剪开,可得到三个等腰三角形纸片。
① 如图,根据亮亮的思路,请你分别作 $AB$,$AC$ 的垂直平分线交于点 $P$。(不写作法,保留作图痕迹)

② 若 $\angle A = 36^{\circ}$,求这三个等腰三角形的顶角的度数。
③ 在②的条件下,求证：直线 $AP$ 是线段 $BC$ 的垂直平分线。
【拓展设问】
(4) 如图,若 $AD$,$CE$ 是 $\triangle ABC$ 的两条中线,$P$ 是 $AD$ 上的一个动点,$CE = 5$,求线段 $BP + EP$ 的最小值。

答案：

(1)解:真 如果一个三角形两条边上的高相等，那么该三角形是等腰三角形 真
∵三角形的面积是不变的，当高相等时，底边也相等，
∴如果一个三角形两条边上的高相等，那么该三角形是等腰三角形是真命题
(2)证明:①
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠DCB=∠EBC,
∴∠ACD=∠ABE;
在△ABE和△ACD中，
∵∠ABE=∠ACD,AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABE≌△ACD(ASA),
∴CD=BE.
(同学们也可以利用“ASA”证明△DBC≌△ECB，从而得到 CD=BE)
②
∵AB=AC,BD=CE,
∴AD=AE.
在△ABE和△ACD中,
∵AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠ABE=∠ACD.
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠DCB=∠EBC.
(同学们也可以利用“SAS”证明△DBC≌△ECB，从而得到∠DCB=∠EBC)
(3)①解:如图1.

②解:如图2,根据题意得,PA=PB=PC.
在△APB和△APC中,
∵AB=AC,BP=CP,AP=AP,
∴△APB≌△APC(SSS).
∵∠BAC=36°,
∴∠BAP=∠CAP=18°.
∴∠PBA=∠BAP=∠CAP=∠PCA=18°,
∴∠APB=∠APC=180°−18°×2=144°,
∴∠BPC=360°−2×144°=72°,
∴等腰三角形PAB的顶角度数为144°,等腰三角形PBC的顶角度数为72°,等腰三角形PAC的顶角度数为144°.
③证明:根据②可得,AP平分∠BAC.
章末复习专练
∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,
∴AP⊥BC且直线AP平分线段BC,
∴直线AP是线段BC的垂直平分线
(4)解:连接PC.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
又
∵AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC,
∴PB=PC,
∴PB+PE=PC+PE.
∵PC+PE≥CE,CE=5,
∴当P,C,E三点共线时,PB+PE的值最小,
最小值为线段CE的长度，即BP+EP的最小值为5.