《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

6 (1) 如图 1,$AB = AC$,$DB = DC$,请用无刻度直尺作 $\angle BAC$ 及 $\angle BDC$ 的平分线,并说明理由；
(2) 如图 2,$AB = AC$,$AD = AE$,请用无刻度的直尺作 $\angle BAC$ 的平分线,并说明理由.

答案：
6 解:
(1)如图1,连接AD,则AD即所求.理由如下:在△ABD和△ACD中,
∵AB=AC,DB=DC,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA,
∴AD平分∠BAC,DA平分∠BDC.
　　
(2)如图2,连接BE,CD相交于点H,连接AH并延长交BC于点F,则AF即所求.理由如下:
∵AB=AC,AD=AE,
∴∠ABC=∠ACB,BD=CE.在△DBC和△ECB中,
∵BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC=CB,
∴△DBC≌△ECB(SAS),
∴∠DCB=∠EBC,
∴HB=HC.在△AHB和△AHC中,
∵AB=AC,AH=AH,HB=HC,
∴△AHB≌△AHC(SSS),
∴∠BAH=∠CAH,
∴AF平分∠BAC.

7 [2024 兰州中考] 观察发现：
劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法,正如木匠刘师傅的“木条画直角法”,如图 1,他用木条能快速画出一个以点 $A$ 为顶点的直角,具体作法如下：
①木条的两端分别记为点 $M$,$N$,先将木条的端点 $M$ 与点 $A$ 重合,任意摆放木条后,另一个端点 $N$ 的位置记为点 $B$,连接 $AB$；
②木条的端点 $N$ 固定在点 $B$ 处,将木条绕点 $B$ 顺时针旋转一定的角度,端点 $M$ 的落点记为点 $C$(点 $A$,$B$,$C$ 不在同一条直线上)；
③连接 $CB$ 并延长,将木条沿点 $C$ 到点 $B$ 的方向平移,使得端点 $M$ 与点 $B$ 重合,端点 $N$ 在 $CB$ 延长线上的落点记为点 $D$；
④用另一根足够长的木条画线,连接 $AD$,$AC$,则画出的 $\angle DAC$ 是直角.

操作体验：
(1) 根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法,如图 2,$BA = BC$,请画出以点 $A$ 为顶点的直角,记作 $\angle DAC$；
推理论证：
(2) 如图 1,小亮尝试揭示此操作的数学原理,请你补全括号里的证明依据.
证明：$\because AB = BC = BD$,
$\therefore \triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 都是等腰三角形,
$\therefore \angle BCA = \angle BAC$,$\angle BDA = \angle BAD$(依据 1),
$\therefore \angle BCA + \angle BDA = \angle BAC + \angle BAD = \angle DAC$,
$\because \angle DAC + \angle BCA + \angle BDA = 180^{\circ}$(依据 2),
$\therefore 2\angle DAC = 180^{\circ}$,$\therefore \angle DAC = 90^{\circ}$.
依据 1：______.
依据 2：______.
拓展探究：
(3) 小亮进一步研究发现,用这种方法作直角存在一定的误差,用平时学习的尺规作图的方法可以减小误差. 如图 3,点 $O$ 在直线 $l$ 上,请用无刻度的直尺和圆规在图 3 中作出一个以 $O$ 为顶点的直角,记作 $\angle POQ$,使得直角边 $OP$(或 $OQ$)在直线 $l$ 上.(保留作图痕迹,不写作法)

答案：
7 解:
(1)如图1,∠DAC即所求.

(2)等边对等角 三角形的内角和等于180°
(3)如图2,∠POQ即所求(作法不唯一).