《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 一题多解 [2025 深圳龙岗区月考]在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ M $ 为边 $ AB $ 的中点,点 $ D $ 在边 $ BC $ 上.
(1) 如图 1,若 $ AC = 6 $,$ BC = 8 $,$ DM \perp AB $ 于点 $ M $,求 $ MD $ 的长.
(2) 如图 2,过点 $ M $ 作 $ ME \perp MD $ 于点 $ M $,与边 $ AC $ 交于点 $ E $,连接 $ DE $,探究线段 $ AE $,$ DE $,$ DB $ 之间满足什么数量关系？并说明理由.

答案：
1 解:
(1)如图1,连接AD.
∵ M为边AB的中点,DM⊥AB,
∴ MD是线段AB的垂直平分线，
∴ AD=BD.
设AD=BD=x,
∵ BC=8,
∴ CD=8 - x.
在Rt△ACD中,根据勾股定理得，
AD²=AC²+CD²,即x²=6²+(8 - x)²,解得x=$\frac{25}{4}$.
在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,根据勾股定理得,
AB = $\sqrt{AC²+BC²}$ = $\sqrt{6²+8²}$ = 10.
∵ S△ABD = $\frac{1}{2}$AB·DM = $\frac{1}{2}$BD·AC,
∴ DM = $\frac{BD·AC}{AB}$ = $\frac{\frac{25}{4}×6}{10}$ = $\frac{15}{4}$.

(2)通解1　ED² = AE² + BD².理由如下:
如图2,作AN//BC交DM的延长线于点N,连接EN,
∴ ∠NAM = ∠B,∠ANM = ∠BDM;
∵ M为边AB的中点，
∴ AM = BM.
在△ANM和△BDM中,∠NAM = ∠B,∠ANM = ∠BDM,AM = BM,
∴ △ANM≌△BDM(AAS),
∴ AN = BD,MN = MD.
又
∵ ME⊥MD,
∴ ME是线段DN的垂直平分线，
∴ ED = EN.
∵ ∠C = 90°,AN//BC,
∴ ∠EAN = 90°,
∴ EN² = AE² + AN²,
∴ ED² = AE² + BD².

通解2　ED² = AE² + BD².理由如下:
如图3,延长EM = ME',连接DE',BE'.
在△EMD和△E'MD中,
EM = E'M,∠EMD = ∠E'MD,MD = MD,
∴ △EMD≌△E'MD(SAS),
∴ DE = DE'.
在△AEM和△BE'M中,
AM = BM,∠AME = ∠BME',EM = E'M,
∴ △AEM≌△BE'M(SAS),
∴ AE = BE',∠AEM = ∠BE'M,
∴ AC//BE'.
∵ ∠C = 90°,
∴ ∠E'BD = 90°.
在Rt△DBE'中,BD² + E'B² = E'D².
∵ DE' = DE,E'B = AE,
∴ ED² = AE² + BD².
(用同样的方法延长DM = MD'也可以求解;同学们自己试一试)

2 新趋势·尺规作图 [2025 兰州城关区期末]
没有直角尺也能作出直角
木工师傅有一块如图 1 所示的四边形木板,他已经在木板上画出一条裁割线 $ AB $,现根据木板的情况,要过 $ AB $ 上的一点 $ C $,作出 $ AB $ 的垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢？
办法一：如图 2,可利用一把有刻度的直尺在 $ AB $ 上量出 $ CD = 30 cm $,然后分别以点 $ D $,$ C $ 为圆心,分别以 $ 50 cm $,$ 40 cm $ 为半径画圆弧,两弧相交于点 $ E $,作直线 $ CE $,则 $ \angle DCE $ 必为 $ 90^{\circ} $.

办法二：如图 3,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出 $ M $,$ N $ 两点,然后把木棒斜放在木板上,使点 $ M $ 与点 $ C $ 重合,用铅笔在木板上将点 $ N $ 对应的位置标记为点 $ Q $,保持点 $ N $ 不动,将木棒绕点 $ N $ 旋转,使点 $ M $ 落在 $ AB $ 上,在木板上将点 $ M $ 对应的位置标记为点 $ R $,连接 $ RQ $ 并延长,在延长线上截取线段 $ QS = MN $,得到点 $ S $,作直线 $ SC $,则 $ \angle RCS = 90^{\circ} $.
以上两种办法依据的是什么数学原理呢？还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？
(1) “办法一”依据的一个数学定理是______.
(2) 根据“办法二”的操作过程,求证：$ \angle RCS = 90^{\circ} $.
(3) ①尺规作图：请在图 1 的木板上,过点 $ C $ 作出 $ AB $ 的垂线. (在木板上保留作图痕迹,不写作法)
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实. (写出一个即可)

答案：
2
(1)解:勾股定理的逆定理
∵ CD = 30,DE = 50,CE = 40,
∴ CD² + CE² = 30² + 40² = 50² = DE²,
∴ ∠DCE = 90°.
(2)证明:由题中的作图方法可知,QR = QC,QS = QC,
∴ ∠QCR = ∠QRC,∠QCS = ∠QSC.
∵ ∠SRC + ∠QCS + ∠QCR + ∠QSC = 180°,
∴ 2(∠QCR + ∠QCS) = 180°,
∴ ∠QCR + ∠QCS = 90°,即∠RCS = 90°.
(3)解:(答案不唯一)①如图,直线PC即所求.

②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.