《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 根据完全平方公式填空.
(1) $(x + 1)^2 = (x)^2 + 2×(x)×(1) + (1)^2 = $$x^{2}+2x+1$；
(2) $(-x + 1)^2 = (-x)^2 + 2×(-x)×(1) + (1)^2 = $$x^{2}-2x+1$；
(3) $(-2a - b)^2 = (-2a)^2 - 2×(-2a)×(b) + (b)^2 = $$4a^{2}+4ab+b^{2}$.

答案： 1
(1)x x 1 1 $x^{2}+2x+1$;
(2)-x -x 1 1 $x^{2}-2x+1$;
(3)-2a -2a b b $4a^{2}+4ab+b^{2}$

2 如图,大正方形的边长为 $a$,若沿大正方形相邻的两边各剪去一个宽为 $b(a ＞ b)$ 的长方形,则剩下的正方形的边长为$a-b$,此时该正方形的面积可表示为$(a-b)^{2}$；由于剪去的两个长方形的面积分别是 $ab$ 和 $b(a - b) = ab - b^2$,此时剩下的正方形的面积可表示为$a^{2}-2ab+b^{2}$(填合并同类项后的式子). 根据上面两种正方形面积的表示方法,可得等式$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$.

答案： 2 $a-b$ $(a-b)^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}$ $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

3 计算：$(x + 2y)^2 = $ (A)

A.$x^2 + 4xy + 4y^2$
B.$x^2 + 2xy + 4y^2$
C.$x^2 + 4xy + 2y^2$
D.$x^2 + 4y^2$

答案： 3 A

4 计算 $(a^n - a)^2$ 的结果正确的是 (C)
$(a^{n}-a)^{2}=(a^{n})^{2}-2\cdot a^{n}\cdot a$（幂的乘方和同底数幂的乘法）$+a^{2}=a^{2n}-2a^{n+1}+a^{2}$.
A.$a^{n^2} - 2a^n + a^2$
B.$a^{n^2} - 2a^{n + 1} + a^2$
C.$a^{2n} - 2a^{n + 1} + a^2$
D.$a^{2n} + 2a^{n + 1} + a^2$

答案： 4 C $(a^{n}-a)^{2}=(a^{n})^{2}-2\cdot a^{n}\cdot a$（幂的乘方和同底数幂的乘法）$+a^{2}=a^{2n}-2a^{n+1}+a^{2}$.

5 若 $x^2 + y^2 = (x + y)^2 + A = (x - y)^2 - B$,则 $A,B$ 的数量关系为 (A=B)
$\because x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}+(-2xy)=(x-y)^{2}-(-2xy)$,$\therefore A=-2xy,B=-2xy,\therefore A=B$.
A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.无法确定

答案： 5 A $\because x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}+(-2xy)=(x-y)^{2}-(-2xy)$,$\therefore A=-2xy,B=-2xy,\therefore A=B$.

6 [2025 天津和平区模拟]已知 $y^2 - my + 1$ 是完全平方式,则 $m$ 的值是±2.

答案： 6 ±2 $\because y^{2}-my+1$是完全平方式,$\therefore -m=\pm 2$,解得$m=\pm 2$.

7 [教材 P44 习题 T7 变式]已知 $(x + y)^2 = 81$,$xy = 8$,则 $x - y$ 的值为±7.
[变式 1][2025 新乡期中]一个长方形的长为 $a$、宽为 $b$,面积为 $6$,周长为 $12$,则 $a^2 + b^2 = $24.
[变式 2]已知 $(a + b)^2 = 7$,$(a - b)^2 = 9$,求 $a^2 + b^2$ 及 $ab$ 的值.
解:$\because (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=7,(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=9,\therefore 2(a^{2}+b^{2})=16,4ab=-2$,$\therefore a^{2}+b^{2}=8,ab=-\frac{1}{2}$.

答案： 7 ±7 $\because (x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=81-4× 8=81-32=49$,$\therefore x-y=\pm 7$.
变式1 24 根据题意,得$ab=6,2(a+b)=12,\therefore a+b=6$,$\therefore a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=6^{2}-2× 6=24$.
变式2 解:$\because (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=7,(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=9,\therefore 2(a^{2}+b^{2})=16,4ab=-2$,$\therefore a^{2}+b^{2}=8,ab=-\frac{1}{2}$.

8 [2024 陕西中考 A 卷]先化简,再求值：$(x + y)^2 + x(x - 2y)$. 其中 $x = 1$,$y = -2$.

答案： 8 解:$(x+y)^{2}+x(x-2y)=x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}-2xy=2x^{2}+y^{2}$.当$x=1,y=-2$时,原式$=2× 1^{2}+(-2)^{2}=2+4=6$.

9 利用完全平方公式计算：
(1) $102^2$；
(2) $999^2$.

答案： 9 解:
(1)$102^{2}=(100+2)^{2}=100^{2}+2× 100× 2+2^{2}=10000+400+4=10404$.
(2)$999^{2}=(1000-1)^{2}=1000^{2}-2× 1000× 1+1=1000000-2000+1=998001$.

10 [2025 保定期末]将一个边长为 $(a + 1)m$ 的正方形广场进行扩建,扩建后的正方形广场的边长比原来多 $a(a ＞ 0)m$,则扩建后广场的面积增大了 ($3a^{2}+2a$)
A.$3a^2 m^2$
B.$(3a^2 + 2a)m^2$
C.$a^2 m^2$
D.$(a^2 + 2a)m^2$

答案： 10 B 根据题意,得扩建后广场的面积增大了$(a+1+a)^{2}-(a+1)^{2}=(2a+1)^{2}-(a+1)^{2}=4a^{2}+4a+1-(a^{2}+2a+1)=4a^{2}+4a+1-a^{2}-2a-1=(3a^{2}+2a)(m^{2})$.

11 [2025 沈阳第一二六中学教育集团开学考试]如图,某社区有两块相连的长方形空地,其中一块的长为 $(3a + 2b)m$、宽为 $(2a + b)m$,另一块的长为 $(a + b)m$、宽为 $(a - b)m$. 现将这两块空地进行改造,即在中间边长为 $(a - b)m$ 的正方形(阴影部分)中种花,其余部分种植草坪.
(1) 求种植草坪的面积；
(2) 若 $a = 30m$,$b = 10m$,求种植草坪的面积.

答案： 11 解:
(1)种植草坪的面积为$(3a+2b)(2a+b)+(a+b)\cdot (a-b)-(a-b)^{2}=6a^{2}+3ab+4ab+2b^{2}+a^{2}-b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}=(6a^{2}+9ab)(m^{2})$.
(2)当$a=30m,b=10m$时,种植草坪的面积为$6a^{2}+9ab=6× 30^{2}+9× 30× 10=8100(m^{2})$.