《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

4 如图,$\angle BAE = \angle CAF = 90^{\circ}$,$EC$,$BF相交于点M$,$AE = AB$,$AC = AF$.
(1) 求证：$EC = BF$,$EC \perp BF$.
(2) 若$\angle BAE = \angle CAF = m^{\circ}(m \neq 90)$,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗？请说明理由.

答案：
(1)证明:
∵ ∠BAE = ∠CAF = 90°,
∴ ∠EAC = ∠BAF.
在△CAE 和△FAB 中,AE = AB,∠EAC = ∠BAF,AC = AF,
∴ △CAE≌△FAB(SAS),
∴ EC = BF.
设 AC 与 BF 交于点 O.
∵ △CAE≌△FAB,
∴ ∠AFO = ∠OCM.
又
∵ ∠AOF = ∠COM,∠CAF = 90°,
∴ ∠OMC = ∠CAF = 90°,
∴ EC⊥BF.
(2)解:
(1)中的结论 EC = BF 成立,结论 EC⊥BF 不成立.
理由如下:
∵ ∠BAE = ∠CAF = m°,
∴ ∠EAC = ∠BAF.
在△CAE 和△FAB 中,AE = AB,∠EAC = ∠BAF,AC = AF,
∴ △CAE≌△FAB(SAS),
∴ EC = BF.
∴ 结论 EC = BF 成立.
设 AC 与 BF 交于点 N.
由△CAE≌△FAB,得∠AFN = ∠MCN.
又
∵ ∠ANF = ∠CNM,∠CAF = m°,
∴ ∠CMN = ∠CAF = m°,
∴ 结论 EC⊥BF 不成立.

5 如图,$C是AB$上的一点,$\triangle ACM$,$\triangle CBN$都是等边三角形,连接$AN交CM于点E$,连接$BM交CN于点F$.
(1) 求证：$\angle NAC = \angle BMC$.
(2) 连接$EF$,判断$\triangle CEF$的形状,并说明理由.

答案：
(1)证明:
∵ △ACM 与△CBN 都为等边三角形,
∴ ∠ACM = ∠BCN = 60°,AC = MC,NC = BC,
∴ ∠ACM + ∠MCN = ∠BCN + ∠NCM,即∠ACN = ∠MCB.
在△ACN 和△MCB 中,
AC = MC,∠ACN = ∠MCB,NC = BC,
∴ △ACN≌△MCB(SAS),
∴ ∠NAC = ∠BMC.
(2)解:△CEF 为等边三角形.理由如下:
∠MCF = 180° - ∠ACM - ∠BCN = 180° - 60° - 60° = 60° = ∠ACE.
在△ACE 和△MCF 中,
∠EAC = ∠FMC,AC = MC,∠ACE = ∠MCF,
∴ △ACE≌△MCF(ASA),
∴ CE = CF.
∵ ∠MCF = 60°,
∴ △CEF 是等边三角形.

6 【发现问题】
(1) 如图 1,$\triangle ABC和\triangle ADE$是顶角相等的等腰三角形,$BC$,$DE$分别是底边. 求证：$BD = CE$.
【解决问题】
(2) 如图 2,若$\triangle ACB和\triangle DCE$均为等腰直角三角形,$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$,点$A$,$D$,$E$在同一条直线上,$CM为\triangle DCE的边DE$上的高,连接$BE$.
① 求$\angle AEB$的度数；
② 猜想线段$CM$,$AE$,$BE$之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)证明:
∵ △ABC 和△ADE 是顶角相等的等腰三角形,
∴ AB = AC,AD = AE,∠BAC = ∠DAE,
∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD,即∠BAD = ∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中,
AB = AC,∠BAD = ∠CAE,AD = AE,
∴ △BAD≌△CAE(SAS),
∴ BD = CE.
(2)解:①
∵ △ABC 和△DEC 均是等腰直角三角形,
∴ AC = BC,CD = CE,∠ACB = ∠DCE,
∴ ∠ACB - ∠DCB = ∠DCE - ∠DCB,
∴ ∠ACD = ∠BCE.
在△ACD 和△BCE 中,
AC = BC,∠ACD = ∠BCE,CD = CE,
∴ △ACD≌△BCE(SAS),
∴ AD = BE,∠ADC = ∠BEC.
∵ △CDE 是等腰直角三角形,
∴ ∠CDE = ∠CED = 45°,
∴ ∠ADC = 180° - ∠CDE = 135°,
∴ ∠BEC = ∠ADC = 135°,
∴ ∠AEB = ∠BEC - ∠CED = 135° - 45° = 90°.
②AE = BE + 2CM.理由如下:
∵ CD = CE,CM⊥DE,
∴ DM = ME,∠DCM = 45°,
∴ DM = ME = CM,
∴ DE = 2CM.由①知 AD = BE,
∴ AE = AD + DE = BE + 2CM.