《2025年一遍过八年级数学上册华师大版》

1 [2025 郑州金水区期中]将四块全等的直角三角形纸板拼成如图1所示的图案,你能由此确定直角三角形的三边长 $ a,b,c $ 之间的关系吗?试试看.
(1)大正方形的面积可以表示为$(a+b)^{2}$,又可以表示为$4×\frac {1}{2}ab+c^{2}$,从而可得到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案,你能通过对比图1与图2,换一种方法证明勾股定理吗?

能.证明如下:
题图2中大正方形的面积为$(a+b)^{2}$,两个小正方形的面积之和为$(a+b)^{2}-4×\frac {1}{2}ab=a^{2}+b^{2},$
题图1中小正方形的面积为$c^{2},$
对比题图1和题图2,
易知题图2中两个小正方形的面积之和等于题图1中小正方形的面积,故$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

答案：
(1)$(a+b)^{2}$ $4×\frac {1}{2}ab+c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
(2)能.证明如下:
题图2中大正方形的面积为$(a+b)^{2}$,两个小正方形的面积之和为$(a+b)^{2}-4×\frac {1}{2}ab=a^{2}+b^{2},$
题图1中小正方形的面积为$c^{2},$
对比题图1和题图2,
易知题图2中两个小正方形的面积之和等于题图1中小正方形的面积,故$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ a,b,c $ 分别是 $ \angle A,\angle B,\angle C $ 的对边.若 $ \angle A = 90^{\circ} $,则 (B)
A.$ a^{2}+b^{2}= c^{2} $
B.$ b^{2}+c^{2}= a^{2} $
C.$ c^{2}+a^{2}= b^{2} $
D.$ b + a = c $

答案： B

3 [2025 长春双阳区期末]在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $.若 $ AC = 4 $,则 $ AB^{2}-BC^{2}= $ (16)
A.4
B.16
C.20
D.25

答案： B 根据题意,得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}.\because AC=4,\therefore AB^{2}-BC^{2}=16.$

4 [2025 兰州城关区期末]如图,所有四边形都是正方形,三角形是直角三角形.若正方形 $ A,C $ 的面积分别为6,10,则正方形 $ B $ 的面积是 (4)

A.8
B.4
C.2
D.34

答案： B 根据题意,得正方形B的面积为$10-6=4.$

5 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 10 $,$ BC = 12 $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,则 $ AD $ 的长为 (C)

$\because AB=AC$,AD平分$∠BAC,\therefore AD⊥BC,BD=DC=\frac {1}{2}BC=6$(等腰三角形的三线合一).在$Rt△ABD$中,$AD=\sqrt {AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt {10^{2}-6^{2}}=8.$
A.6
B.7
C.8
D.9

答案： C $\because AB=AC$,AD平分$∠BAC,\therefore AD⊥BC,BD=DC=\frac {1}{2}BC=6$(等腰三角形的三线合一).在$Rt△ABD$中,$AD=\sqrt {AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt {10^{2}-6^{2}}=8.$

6 教材 P122 练习 T1 变式 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ a,b,c $ 分别为 $ \angle A,\angle B,\angle C $ 的对边.
(1)若 $ a = 12 $,$ b = 5 $,则 $ c = $13;
(2)若 $ c = 41 $,$ b = 9 $,则 $ a = $40.

答案：
(1)13;
(2)40
(1)在$Rt△ABC$中,$\because ∠C=90^{\circ },a=12,b=5,\therefore c=\sqrt {12^{2}+5^{2}}=13$.
(2)在$Rt△ABC$中,$\because ∠C=90^{\circ },c=41,b=9,\therefore a=\sqrt {41^{2}-9^{2}}=40.$

7 [2025 厦门集美区期中]如图,$ OP $ 平分 $ \angle MON $,$ PA \perp ON $ 于点 $ A $.若 $ OP = 5 $,$ OA = 4 $,则点 $ P $ 到 $ OM $ 的距离为3.

答案： 3 如图,过点P作$PQ⊥OM$于点Q,$\because OP$平分$∠MON,PA⊥ON,\therefore PA=PQ.\because OP=5,OA=4,\therefore PA=\sqrt {OP^{2}-OA^{2}}=\sqrt {5^{2}-4^{2}}=3,\therefore PQ=PA=3$,
∴点P到OM的距离为3.

8 [2025 保定清苑区期中]如图,$ BO \perp AO $ 于点 $ O $,$ OA = 4 $,$ OB = 3 $,以点 $ A $ 为圆心,$ AB $ 的长为半径画弧交射线 $ AO $ 于点 $ C $,则 $ OC $ 的长为______1.

答案： 1 根据题意,得$AC=AB,∠AOB=90^{\circ }$.在$Rt△AOB$中,$AB^{2}=OB^{2}+OA^{2}=3^{2}+4^{2}=25,\therefore AB=5,\therefore OC=AC - OA=5 - 4=1.$

9 教材 P122 练习 T2 变式 将两个大小不一样的直角三角形按如图所示的方式摆放,连接 $ AD $. 若 $ BC = 6 $,$ AC = 8 $,$ CD = 15 $,求 $ \triangle ABD $ 的周长.

答案： 解:$\because ∠ACB=90^{\circ },BC=6,AC=8,\therefore AB=\sqrt {AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt {8^{2}+6^{2}}=10.$
$\because ∠ACD=90^{\circ },AC=8,CD=15,\therefore AD=\sqrt {AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt {8^{2}+15^{2}}=17,$
$\therefore △ABD$的周长为$AB+BD+AD=10+6+15+17=48.$